Differentialrechnung / 1. Ableitung

13.12.2012, 21:24

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Differentialrechnung / 1. Ableitung

Hi zusammen,

aktuell im BWL Studium nehmen wir die Differentialrechnung durch und zur Aufgabe zur nächsten Vorlesung haben wir mehrere Aufgaben bekommen aber so ganz blicke ich da noch nicht durch. Vielleicht könnt ihr mir helfen verwirrt

verwirrt

Es geht z.b. um folgende Aufgaben:

$\begin{eqnarray*} y= ln [x-\frac{2}{x} ] \end{eqnarray*}$

Ich habe mir gedacht das ich erstmal die Kettenregel anwenden muss, da ich ja eine innere und äußere Funktion habe.

Innere Funktion: $\begin{eqnarray*} yx-\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$
Innere Ableitung: ?? Da fehlen mir komplett die Ansätze ...

Äußere Funktion: $\begin{eqnarray*} ln*(u) \end{eqnarray*}$
Äußere Ableitung: ??

Bei einer anderen Aufgabe habe ich schon eher Ansätze, ob die Richtig sind ist allerdings eine andere Frage geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} y=ln(cos 2x) \end{eqnarray*}$

Substitution u= cos 2x

Innere Funktion: cos 2x
Innere Ableotung: -sin 2

Äußere Funktion: ln (u)
Äußere Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$

y' = ??

Vielleicht könnt ihr mir etwas auf die Sprünge helfen .... Ich wäre euch wirklich dankbar.

Gruß,
André

13.12.2012, 21:54

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mir nochmal die 2. Aufgabe ansehe könnte das so richtig sein:

$\begin{eqnarray*} ln(cos 2x) \end{eqnarray*}$

Substitution $\begin{eqnarray*} u= cos 2x \end{eqnarray*}$

Äußere Funktion: $\begin{eqnarray*} ln (u) \end{eqnarray*}$
Äußere Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(u)} \end{eqnarray*}$

Innere Funktion: $\begin{eqnarray*} cos 2x \end{eqnarray*}$
Innere Ableitung: $\begin{eqnarray*} -sin 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'= -sin 2 *\frac{1}{(u)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'= -sin 2 \frac{1}{cos 2x} \end{eqnarray*}$

Bin gerade die ganze Zeit am überlegen was nun das Richtige ist ...

13.12.2012, 21:55

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, zur ersten Aufgabe:

Schau mal auf deine Ausführungen zur Aufgabe zwei. Da hast du die Ableitung der äußeren Funktion schon hingeschrieben. smile

smile

die Innere Funktion ist $\begin{eqnarray*} u(x)=x-\frac2x \end{eqnarray*}$ und die äußere Funktion $\begin{eqnarray*} f(u)=\ln u \end{eqnarray*}$

Um die innere Funktion abzuleiten, verwendest du die Summen- und Potenzregel.

Zur zweiten Aufgabe. Du hast es hier mit einer zweifach verketteten Funktion zu tun. Daher ist diene innere Ableitung falsch.

13.12.2012, 22:08

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Aufgabe:

Ok wenn ich also die innere Funktion ableite bekomme ich ja aus dem x eine 1 aber was passiert mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Die Ableitung von dem ganzen wäre dann doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(u)} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Was genau bedeutet zweifach verkettete Funktion? Die Innere ist doch $\begin{eqnarray*} cos 2x \end{eqnarray*}$ , wird da nicht $\begin{eqnarray*} -sin 2 \end{eqnarray*}$ raus?

14.12.2012, 10:44

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Basi84
Zur ersten Aufgabe:

Ok wenn ich also die innere Funktion ableite bekomme ich ja aus dem x eine 1 aber was passiert mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Genau, denn die Potenzregel besagt ja, dass $\begin{eqnarray*} \left(x^n\right)'=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$
So, was passiert also mit dem Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac2x \end{eqnarray*}$ ? Dafür schreiben wir ihn mal als Potenz hin: $\begin{eqnarray*} \frac2x=2x^{-1} \end{eqnarray*}$ Jetzt können wir die Potenzregel anwenden. Und was erhalten wir dann? Und was erhalten wir dann für die innere Ableitung?

Zitat:

Original von Basi84
Die Ableitung von dem ganzen wäre dann doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(u)} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Genau. Und wenn du die innere Ableitung hast, brauchst du nur noch alles einsetzen und fertig ist die Laube Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Basi84
Was genau bedeutet zweifach verkettete Funktion? Die Innere ist doch $\begin{eqnarray*} cos 2x \end{eqnarray*}$ , wird da nicht $\begin{eqnarray*} -sin 2 \end{eqnarray*}$ raus?

Zweifach verkettete Funktion bedeutet folgendes:
Deine Funktion lautet ja $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(\cos(2x)) \end{eqnarray*}$ .
Im Argument des Cosinus steht ja schon eine Funktion, nämlich 2x. Das ist die innerste Funktion. Nennen wir sie mal u(x). Die innere Funktion ist der Cosinus, nämlich cos u. Nennen wir die mal v(u).
Und der Logarithmus ist die äußere Funktion, nämlich ln v. Nennen wir diese mal w(u).
Dann bekommt die Funktion f(x) folgende Form: $\begin{eqnarray*} f(x)=w\Big(v\big(u(x)\big)\Big) \end{eqnarray*}$
Wir haben es hier also mit drei ineinander verschachtelte Funktionen, oder anders gesagt, mit einer zweifach verkettete Funktion zu tun. Und ihre Ableitung ist nach der Kettenregel dann
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)\cdot v'\big(u(x)\big)\cdot w'\Big(v\big(u(x)\big)\Big) \end{eqnarray*}$ .

Ist soweit alles klar?

14.12.2012, 23:12

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe das ich das alles so verstanden habe.

Also zur ersten Aufgabe:

Die Innere Ableitung müsste dann doch $\begin{eqnarray*} 1+2x^{-2} \end{eqnarray*}$ sein oder?

Die gesamte Ableitung wäre dann $\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{1+2x^{-2}} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ich die Potenzregel richtig für $\begin{eqnarray*} 2x^{-1} \end{eqnarray*}$ angewendet habe. Aus dem $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ in der Substitution $\begin{eqnarray*} (u) \end{eqnarray*}$ wird dann somit ein $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ?

Zu der zweiten Aufgabe:

Wäre es dann soweit richtig:

$\begin{eqnarray*} y'=(2x)*(cos 2x)*[ln(cos 2x)] \end{eqnarray*}$

Reicht das denn normalerweise aus Ergebnis aus oder muss das noch weiter umgewandelt werden?

So z.B.:

$\begin{eqnarray*} y'=2*(-sin 2)*(\frac{1}{-sin 2} ) \end{eqnarray*}$

Anzeige

15.12.2012, 14:33

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast leider die Kettenregel nicht richtig angewendet.

Das Ergebnis von Aufgabe 1 wäre

$\begin{eqnarray*} y(x)= \ln\left(x-\frac{2}{x}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{1+\frac2{x^2}}{x-\frac2x} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis für die zweite Aufgabe wäre

$\begin{eqnarray*} y(x)=\ln\big(\cos(2x)\big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=-\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)}=-2\tan(2x) \end{eqnarray*}$

In das Argument der Ableitung der äußeren Funktion gehört die innere Funktion, nicht die Ableitung der inneren Funktion.

15.12.2012, 18:39

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm leider kann so auf die schnelle nicht nachvollziehen wie man auf die Ergebnisse kommt. Kannst du mir das vllt kurz erläutern? Danke schonmal...

15.12.2012, 20:25

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann wollen wir mal.

Die Kettenregel lautet

Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=v\big(u(x)\big) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Ableitung gegeben durch
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)\cdot v'\big(u(x)\big) \end{eqnarray*}$ , also innere Ableitung mal äußere Ableitung).

Ich greife jetzt noch einmal die erste Aufgabe auf:

$\begin{eqnarray*} y(x)= \overbrace{\ln\bigg(\underbrace{x-\frac{2}{x}}_{u(x)}\bigg)}^{v(u)} \end{eqnarray*}$

Wir bilden die äußere und innere Ableitung.

$\begin{eqnarray*} u'(x)=1+\frac2{x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'\big(u(x)\big)=\frac1{u(x)}=\frac1{x-\frac2x} \end{eqnarray*}$

Und letzt setzen wir das Ganze in die Formel der Kettenregel ein:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=u'(x)\cdot v'\big(u(x)\big)=\left(1+\frac2{x^2}\right)\frac1{x-\frac2x}=\frac{1+\frac2{x^2}}{x-\frac2x} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das jetzt klarer geworden ist.

16.12.2012, 11:55

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, so hatte ich es auch gelernt und den Aufbau auch verstanden.

Mein Problem ist gewesen wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ableite? $\begin{eqnarray*} 2x^{-1} \end{eqnarray*}$ habe ich somit falsch abgeleitet.

16.12.2012, 13:57

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ... und bedenke, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cos(2x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -2\sin(2x) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -2\sin(2) \end{eqnarray*}$ .

16.12.2012, 16:50

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie habe ich noch nicht ganz raus wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ ableite?!

Die zweite Sache mit dem sin muss ich mir auch in Ruhe nochmal ansehen.

16.12.2012, 22:46

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Irgendwie habe ich noch nicht ganz raus wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ ableite?!

Die Funktion f kann man wie folgt umformen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac2x=2x^{-1} \end{eqnarray*}$

Um diese Funktion abzuleiten, wendet man die Faktorregel und die Potenzregel an.

Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben bestehen
Produktregel: Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=n\,x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Bei unserer Funktion ist jetzt n=-1. Also ist jetzt

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\cdot(-1)x^{-1-1}=-2x^{-2}=-2\cdot\frac1{x^2}=-\frac2{x^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollten eigentlich keine Fragen mehr offen sein. Ansonsten muss ich die Waffen strecken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.12.2012, 13:44

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich glaube soweit habe ich das mit der ersten Aufgabe verstanden.

Nun nochmal zur zweiten:

Zitat:

Original von Mathewolf

Das Ergebnis für die zweite Aufgabe wäre

$\begin{eqnarray*} y(x)=\ln\big(\cos(2x)\big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=-\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)}=-2\tan(2x) \end{eqnarray*}$

In das Argument der Ableitung der äußeren Funktion gehört die innere Funktion, nicht die Ableitung der inneren Funktion.

$\begin{eqnarray*} y'(x)=-\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)}= \end{eqnarray*}$

Bis dahin bin ich gekommen, reicht das als erste Ableitung nicht aus? Wie komme ich dann auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} -2\tan(2x) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird dann noch die 2. Ableitung gesucht. Muss ich dann von dem Ergebnis aus ableiten?

17.12.2012, 13:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Basi84
$\begin{eqnarray*} y'(x)=-\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)}= \end{eqnarray*}$

Bis dahin bin ich gekommen, reicht das als erste Ableitung nicht aus? Wie komme ich dann auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} -2\tan(2x) \end{eqnarray*}$

Schon mal gesehen, daß $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) \end{eqnarray*}$ ist?

Zitat:

Original von Basi84
Jetzt wird dann noch die 2. Ableitung gesucht. Muss ich dann von dem Ergebnis aus ableiten?

Das bietet sich irgendwie an. smile

smile

17.12.2012, 14:16

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja jetzt nachdem ich nochmal nachgesehen habe, habe ich es bemerkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur zweiten Ableitung, nun habe ich ja

$\begin{eqnarray*} -2 tan (2x) \end{eqnarray*}$

Bisher haben wir noch gar nicht besprochen was wir aus $\begin{eqnarray*} tan \end{eqnarray*}$ machen deswegen rätsel ich gerade rum.

Es wird doch die elemenare Ableitung einer funktion gesucht oder? wie z.B. $\begin{eqnarray*} sin (x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} cos (x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} cos (x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -sin(x) \end{eqnarray*}$

17.12.2012, 14:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Basi84
Es wird doch die elemenare Ableitung einer funktion gesucht oder? wie z.B. $\begin{eqnarray*} sin (x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} cos (x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} cos (x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -sin(x) \end{eqnarray*}$

Nun ja, gemeint ist vermutlich $\begin{eqnarray*} (sin (x))' = cos (x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (cos(x))' = -sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du die Ableitung von tan(x) nicht kennst, dann kannst du sie ja mal separat bestimmen, indem du sin(x) / cos(x) ableitest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.12.2012, 23:51

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau so meinte ich es, hätte nur die Ableitungszeichen vergessen.

Ist die zweite Ableitung folgende:

$\begin{eqnarray*} f'(x): \frac{1}{-2 cos^{2}(2x)} \end{eqnarray*}$ ?

18.12.2012, 01:56

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Fasst. Du suchst die 2. Ableitung. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitungsfunktion, also f''(x). Du hast dich mit den Koeffitienten verhauen, wie mir scheint.
Das richtige Ergebnis wäre

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac4{\cos^2(2x)} \end{eqnarray*}$

18.12.2012, 07:14

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das scheint so, nur wie rechne ich den Koeffizienten denn rein?
Aber das zweite Ableitungszeichen habe ich mal wieder vergessen (vielleicht liegt es auch an dem Handy Browser?!)
Irgendwie werde ich nochmal verrückt unglücklich

unglücklich

18.12.2012, 09:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Basi84
nur wie rechne ich den Koeffizienten denn rein?

Eigentlich gar nicht. Konstante Faktoren werden einfach dort stehen gelassen, wo sie sind.

Somit ist: $\begin{eqnarray*} (-2 \cdot tan(2x))' = -2 \cdot (tan(2x))' \end{eqnarray*}$

18.12.2012, 09:57

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Basi84
nur wie rechne ich den Koeffizienten denn rein?

Eigentlich gar nicht. Konstante Faktoren werden einfach dort stehen gelassen, wo sie sind.

Somit ist: $\begin{eqnarray*} (-2 \cdot tan(2x))' = -2 \cdot (tan(2x))' \end{eqnarray*}$

Nur wie komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac4{\cos^2(2x)} \end{eqnarray*}$

Gerade bei der 4 im Zähler bin ich mir einfach nicht sicher wie das klappt.

Weil die Ableitung ist doch $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac1{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

oder etwa nicht?

18.12.2012, 10:34

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Eher nicht. Schau mal

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2\,\frac{\sin(2x)}{\cos(2x} \end{eqnarray*}$

Um die zweite Ableitung zu bilden, verwenden wir die Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v^2(x)} \end{eqnarray*}$

an und erhalten

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-2\left(\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\right)'=-2\,\frac{2\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)}{\cos^2(2x)}<br /><br /> = -4\,\frac{\cos^2(2x)+\sin^2(2x)}{\cos^2(2x)}=-\frac4{\cos^2(2x)} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

18.12.2012, 14:10

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne irgendwie komme ich da gerade nicht so hinterher.

Schon bei der 2. Ableitung weiß ich nicht so ganz warum z.B. die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{sin(2x}{cos(2x)} \end{eqnarray*}$ steht.

Danach verstehe ich schon das die Quotientenregel angewendet werden muss. Was ich da nicht verstehe ist, wie aus dem -2 aufeinmal ein -4 wird. Also eigentlich den Ablauf. unglücklich

unglücklich

EDIT: Komplettzitat des vorigen Beitrags entfernt (klarsoweit)

18.12.2012, 14:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Basi84
Schon bei der 2. Ableitung weiß ich nicht so ganz warum z.B. die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{sin(2x}{cos(2x)} \end{eqnarray*}$ steht.

Das ist die -2, die vor dem tan(2x) stand. Die wird - wie ich schon (leider umsonst) sagte - als konstanter Faktor einfach mitgeschleppt.

Zitat:

Original von Basi84
Danach verstehe ich schon das die Quotientenregel angewendet werden muss. Was ich da nicht verstehe ist, wie aus dem -2 aufeinmal ein -4 wird. Also eigentlich den Ablauf. unglücklich

unglücklich

Dann leite doch mal sin(2x) und cos(2x) ab und wende mal gaaanz langsam die Quotientenregel an.

18.12.2012, 14:28

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich $\begin{eqnarray*} f'(x): cos (2x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x): -sin (2x) \end{eqnarray*}$ müssten die Ableiten von sin(2x) und cos(2x) sein oder wie meinst du das?

EDIT: auch hier wieder Komplettzitat des vorigen Beitrags entfernt (klarsoweit)

18.12.2012, 15:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau das ist der Knackpunkt. Du hast da nicht die Kettenregel beachtet.

18.12.2012, 15:52

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre folgendes dann richtig?

$\begin{eqnarray*} f'(x): (2)*(cos 2x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f'(x): (2)*(-sin 2x) \end{eqnarray*}$

18.12.2012, 17:34

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
1. Du hast wieder nicht f'' geschrieben.
2. Hast du wieder die Kettenregel nicht angewendet.

18.12.2012, 23:56

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Kettenregel besagt doch innere Ableitung * äußere Ableitung oder etwa nicht?

Wenn wir jetzt die $\begin{eqnarray*} f(x)= cos (2x) \end{eqnarray*}$ haben dann wäre doch die innere funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= 2x \end{eqnarray*}$ und die äußere Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= cos (2x) \end{eqnarray*}$

innere Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)= 2 \end{eqnarray*}$ und die äußere Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)= -sin (2x) \end{eqnarray*}$

Daraus käme dann: $\begin{eqnarray*} f'(x)= (2) * (-sin (2x)) \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich das absolut falsch?

19.12.2012, 01:02

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig, aber schau jetzt mal, welche Funktion du ableiten wolltest. Und dann beachte bitte die Faktorregel, auf die dich Klarsoweit schon zig mal hingewiesen hat.

19.12.2012, 08:33

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid aber irgendwie stehe ich mit der Aufgabe manchmal auf den Schlauch.

Wenn ich das nun so richtig sehe sollte ich ja aus der ersten Ableitung die 2. bilden.

Die erste Ableitung war ja, weil ich $\begin{eqnarray*} tan \end{eqnarray*}$ nicht ableiten konnte:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2\,\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun sehe kann ich doch im Zähler und Nenner jeweils die Kettenregel anwenden oder muss ich direkt die Quotientenregel benutzen?

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{(2) * (cos (2x))}{(2) * (-sin (2x))} \end{eqnarray*}$

Und das mit dem Faktor habe ich nun nochmal gelesen, das er einfach erhalten bleibt.

19.12.2012, 09:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Basi84
Aber die Kettenregel besagt doch innere Ableitung * äußere Ableitung oder etwa nicht?

Wenn wir jetzt die $\begin{eqnarray*} f(x)= cos (2x) \end{eqnarray*}$ haben dann wäre doch die innere funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= 2x \end{eqnarray*}$ und die äußere Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= cos (2x) \end{eqnarray*}$

innere Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)= 2 \end{eqnarray*}$ und die äußere Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)= -sin (2x) \end{eqnarray*}$

Daraus käme dann: $\begin{eqnarray*} f'(x)= (2) * (-sin (2x)) \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich das absolut falsch?

Abgesehen davon, daß es ungeschickt ist, die Funktionsbezeichnung f doppelt zu verwenden, ist in der Tat die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)= cos (2x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f'(x)= (2) * (-sin (2x)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Basi84
Wenn ich das nun sehe kann ich doch im Zähler und Nenner jeweils die Kettenregel anwenden oder muss ich direkt die Quotientenregel benutzen?

Primär mußt du die Quotientenregel verwenden und bei der Bestimmung der Ableitung von Zähler und Nenner jeweils die Kettenregel beachten.

Zitat:

Original von Basi84
$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{(2) * (cos (2x))}{(2) * (-sin (2x))} \end{eqnarray*}$

Da ist natürlich nicht die Quotientenregel benutzt worden.

19.12.2012, 14:30

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt da habe ich bisher nicht die Quotientenregel benutzt, ich habe nur im Zähler und Nenner erst je die Kettenregel angewendet.

Aber kann ich nicht normal bei der $\begin{eqnarray*} f''(x)-2\frac{sin (2x)}{cos (2x)} \end{eqnarray*}$ direkt die Qotientenregel anwenden und dann hätte ich die zweite Ableitung?

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{u'(x)*v(x)-v'(x)*u(x)}{v^{2}(x) } \end{eqnarray*}$

Wäre das dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{sin'(2x)*cos(2x)-cos'(2x)*sin(2x)}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

Oder bin ich mal wieder auf den völlig falschen Weg? verwirrt

verwirrt

19.12.2012, 14:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Basi84
Wäre das dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{sin'(2x)*cos(2x)-cos'(2x)*sin(2x)}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

Also einfach nur Striche an sin und cos drankleben, hilft ja auch nicht weiter. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = -2\frac{(sin(2x))' * cos(2x) - (cos(2x))' * sin(2x)}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

19.12.2012, 22:56

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon richtig, ich meine nur das dieses der erste Schritt wäre. Nun noch die Ableitung anwenden. Morgen Mittag bzw morgen Abend habe ich etwas mehr zeit um es mir mal genauer anzusehen.

20.12.2012, 14:12

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathewolf

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-2\left(\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\right)'=-2\,\frac{2\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)}{\cos^2(2x)}<br /><br /> = -4\,\frac{\cos^2(2x)+\sin^2(2x)}{\cos^2(2x)}=-\frac4{\cos^2(2x)} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

Ich habe mich damit nun mal ein wenig beschäftigt aber so ganz kann ich da nicht folgen auch wenn ich es ganz langsam mache. Vielleicht könnt ihr mir da ein wenig helfen.

Bei mir sieht es wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-2\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{(sin(2x))'*cos(2x)-(cos(2x))'*sin(2x)}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{cos(2x)*cos(2x)-(-sin(2x))*sin(2x)}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{cos(2x)*cos(2x)+sin(2x)*sin(2x)}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{(cos(2x))^{2}+(sin(2x))^{2} }{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht so weiter, weil oben im Zitat ja geschrieben wurde das der Faktor ja -2 ist und der ja so stehen bleibt laut Faktorregel. Nur warum stehen oben $\begin{eqnarray*} 2*cos \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2*sin \end{eqnarray*}$ im Zähler?

20.12.2012, 15:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eben das Problem, daß du trotz mehrfachen Hinweises bei der Ableitung von sin(2x) bzw cos(2x) nicht die Kettenregel anwendest. unglücklich

unglücklich

Aber bitte: wir können ja niemanden zu seinem Glück zwingen. geschockt

geschockt

20.12.2012, 18:09

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich weiß nicht mehr, wie wir dir noch weiter helfen können. Wir haben es detailiert vorgerechnet und dabei wirklich nichts mehr vorausgesetzt. Wir haben dir erklärt, welche Regel wann angewendet werden muss. Und du ignorierst es beharrlich. unglücklich

unglücklich

Also, ich muss hier leider meine Waffen strecken.

20.12.2012, 21:32

Basi84

Auf diesen Beitrag antworten »

Heute mittag musste es schnell gehen, aber ich glaub ich weiß nun wo mein Fehler lag. An den Ableitungen....

Ich sollte erstmal antworten wen ich mir wirklich sicher bin, aber ich hoffe das ich nun auf den richtigen Weg gekommen bin.

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -2\frac{(sin(2x))'*cos(2x)-(cos(2x))'*sin(2x)}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -2\frac{[(2)*(cos(2x)]*cos(2x)+[(2)*(sin(2x)]*sin(2x)}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-2\frac{2cos(2x)^{2}+2sin(2x)^{2} }{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-4\frac{cos(2x)^{2}+sin(2x)^{2} }{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$

Wie komme ich dann weiter? Kann mir wer ein Tipp geben?

Weil ich muss ja irgendwie auf $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{cos^{2}(2x) } \end{eqnarray*}$ kommen.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »