Matrix als Nullstelle eines Polynoms

13.12.2012, 22:13

LoLi93

Matrix als Nullstelle eines Polynoms

Meine Frage:
Seien a, b, c, d $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K,
A:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} K^{2x2} \end{eqnarray*}$
Bestimme $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K so, dass A eine Nullstelle des Polynoms
p(X)=X² + $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ X + (ad-bc)E
ist.

Meine Ideen:
p(X)=0
X²+ $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ X+(ad-bc)E=0
Dann habe ich die Mitternachtsformel aufgestellt und wollte damit die Nullstellen berechnen, aber da komme ich nicht wirklich weiter. Kann mir jemand sagen, was mit dem E hinter (ad-bc) gemeint ist?

13.12.2012, 22:38

watcher

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E ist die Einheitsmatrix.

Die Mitternachtsformel funktioniert i.A. nur in Körpern.

Hier wird aber im Ring $\begin{eqnarray*} Mat(2\times 2, K) \end{eqnarray*}$ gerechnet.

Berechne doch einfach die Matrix p(A).

13.12.2012, 22:48

LoLi93

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Wie berechne ich denn mit p(X) die Matrix? Steh grad etwas auf dem Schlauch.

13.12.2012, 22:48

LoLi93

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Achsoooo, meinst du für X in p(X) das A einsetzen? und dann gamma berechnen?

Muss ich die Einheitsmatrix dann irgendwie miteinbeziehen? Ich weiß, dass bei der Einheitsmatrix die Diagonalen nur aus Einsen bestehen, soll ich das jetzt hier mit der Klammer davor multiplizieren? Und handelt es sich hier um eine E_2 Einheitsmatrix?

13.12.2012, 22:58

watcher

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Zitat:

Achsoooo, meinst du für X in p(X) das A einsetzen? und dann gamma berechnen?

Natürlich.

14.12.2012, 00:04

LoLi93

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Ich komm immer noch nicht ganz zurecht:

Habe jetzt folgendes gemacht:

p(A)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ² + $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (ad-bc)E = 0
jetzt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} aa+bc & ab+ad \\ ca+cc &cb+cd \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das habe ich dann eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} aa+bc & ab+ad \\ ca+cc &cb+cd \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +(ad-bc)* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0
=>
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +(ad-bc)* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} aa+bc & ab+ad \\ ca+cc &cb+cd \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Von da an hab ich keinen Plan, wie ich weitermachen soll.

14.12.2012, 00:14

watcher

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1. Richtig rechnen.
3 vojn 4 Einträgen von A² sind falsch.
2. zu Ende rechnen.
Zwei Matrizen sind gleich wenn alle Einträge gleich sind.

14.12.2012, 11:24

LoLi93

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Zitat:

Original von watcher
1. Richtig rechnen.
3 vojn 4 Einträgen von A² sind falsch.
2. zu Ende rechnen.
Zwei Matrizen sind gleich wenn alle Einträge gleich sind.

Ich bin verwirrt, berechne ich die Multiplikation der Matrix nicht so wie hier gleich am Anfang: http://data2.blog.de/media/037/965037_1f4ae4dbb4_d.pdf ?

Hab ich das mit der Einheitsmatrix richtig gemacht?

Und wie soll ich weitermachen? Ich weiß nicht, wie man Matrizen dividiert.

14.12.2012, 12:03

klarsoweit

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@watcher: ehrlich gesagt, dein Tipp ist nicht wirklich hilfreich und artet in einer üblen Rechnerei aus. Und wenn sich sowas abzeichnet, dann haben die Mathematiker meistens was anderes in der Tasche. Hier ist es der Satz von Cayley-Hamilton. Damit wird das ganze ein 2-Zeiler. smile

14.12.2012, 14:42

watcher

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@klarsoweit: Danke für die Unterstellung ich sei kein Mathematiker.

Üble Rechnerei? Das ganze kann in einer halben Seite erledigt werden.
Was man dazu kennen muss: Matrizenmultplikation.

Dagegen ist Caley-Hamilton ein durchaus tiefer liegender Satz der auch nicht in jeder Vorlesung oder auch mal erst gegen Ende hin.
Und dann muss man auch noch wissen wie das charakteristische Polynom einer 2x2-Matrix aussieht...

Ich ziehe es vor nicht mit Kanonen auf Spatzen zu schießen, insbesondere wenn man die Kanone noch nicht bedienen kann.

@LoLi93:
Es ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ cb+cd &cb+d^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Das mit der Einheitsmatrix ist richtig.
Wieso willst du dividieren?
Auf der linken und der rechten Seite stehen dann zwei Matrizen. Diese sind gleich wenn alle vier Einträge gleich sind.

14.12.2012, 15:26

RavenOnJ

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@watcher
Kleiner Fehler in der Matrix. Es ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} a^2+bc & ba+bd \\ ca+cd &cb+d^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.12.2012, 15:31

RavenOnJ

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Am einfachsten ist es wohl, wenn man über die Determinanten geht, da man bemerkt, dass der Vorfaktor bei der Einheitsmatrix gerade die Determinante von A ist.

16.12.2012, 18:38

LoLi93

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Ich weiß leider nicht, wie ich das über Determinanten mache...

Okay, ich habe jetzt:

- $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a²+bc & ca+cd \\ ba+bd & cb+d² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt einfach so weitermachen:
- $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a²+bc & ca+cd \\ ba+bd & cb+d² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann rechne ich die Addition aus, und vergleiche die 4 "Elemente" der Matrix und schau dann, was gamma sein muss, damit sie gleich sind?

16.12.2012, 18:47

LoLi93

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Habs so gemacht und bin auf $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ =-(a+d) gekommen. Vielen Dank für eure Hilfe smile

16.12.2012, 18:51

RavenOnJ

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Zitat:

Original von LoLi93
Ich weiß leider nicht, wie ich das über Determinanten mache...

Schade, denn das ist hier das einfachste. Die einzige kleine Hürde ist die Determinante

$\begin{eqnarray*} |\gamma A +\beta E| \end{eqnarray*}$

zu berechnen. Ich hoffe du weißt, wie man eine Determinante berechnet? Und hoffentlich weißt du, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} |A\cdot B| = |A|\; |B| \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} |A^2| = |A|^2 \end{eqnarray*}$

16.12.2012, 19:18

RavenOnJ

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Da ich sehe, dass du das Problem auf anderem Weg richtig gelöst hast, schreib ich die Lösung mit Determinanten mal auf.

Man soll lösen

$\begin{eqnarray*} A^2 + \gamma A + |A|\cdot E =0 \Longrightarrow A^2 = -\gamma A -|A|\cdot E \Longrightarrow |A^2| = \Bigl|\gamma A +|A| \cdot E\Bigr| \end{eqnarray*}$

Es gilt (muss man natürlich erst mal zeigen):

$\begin{eqnarray*} |\alpha A +\beta E| = \alpha^2|A| + \beta^2 +\beta \cdot\mathtt{tr}(A) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{align*} \mathtt{tr}(A) := a + d \end{align*}$ die Spur von $\begin{align*} A \end{align*}$ ist. Setzt man jetzt $\begin{align*} \beta = |A| \end{align*}$ und $\begin{align*} \alpha = \gamma \end{align*}$ , dann erhält man

$\begin{eqnarray*} \Bigl|\gamma A +|A|\cdot E\Bigr| = \gamma^2|A| + |A|^2 +\gamma|A| \cdot\mathtt{tr}(A) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} |A|^2 = \gamma^2|A| + |A|^2 + \gamma|A| \cdot\mathtt{tr}(A)<br /> \Longrightarrow \gamma = -\mathtt{tr}(A) \end{eqnarray*}$

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