Stetigkeit einer Funktion

13.12.2012, 23:12

Äktschn

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Stetigkeit einer Funktion

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich habe zum Thema Stetigkeit einer Funktion.

Die Aufgabe lautet:
In welchen Punkten sind folgende Funktionen stetig?

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\Rightarrow \mathbb R , f(x)=\frac{1}{x^{4} - 1} \end{eqnarray*}$ für: $\begin{eqnarray*} x^{2}\neq 1, f(1)= 1, f(- 1) = 1 \end{eqnarray*}$

folgendes habe ich gelöst:

für f(1): $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \Rightarrow_{x \to 1} \frac{1}{1- 1} = \frac{1}{0}= 0\neq f(1) \end{eqnarray*}$

für f(-1): $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \Rightarrow_{x \to - 1} \frac{1}{1- 1} = \frac{1}{0}= 0\neq f(- 1) \end{eqnarray*}$

ich komme aber nicht weiter bei $\begin{eqnarray*} x^{2} \neq 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} x^{2} \neq 1 \end{eqnarray*}$ besagt ja zunächst einmal das x entweder kleiner -1, größer 1 oder zwischen -1 und 1 ist.

Wenn ich das richtig sehe muss ich jetzt noch die links- bzw. rechtsseitge Stetigkeit prüfen.

In meinem Buch steht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a\mp 0} f(x)= f(a) \end{eqnarray*}$
wobei - für linksseitig und + für rechtsseitig Stetig steht. Aber was ist mit der 0? Setze ich für 0 jetzt einen Wert ein der entsprechend Links- bzw. Rechts davon liegt? Hoffe ihr könnt mich mal wieder in die spur bringen.

14.12.2012, 08:58

Jello Biafra

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Von der eigenwilligen Notation mal abgesehen ist das auch inhaltlich falsch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \Rightarrow_{x \to 1} \frac{1}{1- 1} = \frac{1}{0}= 0 \end{eqnarray*}$

Vielmehr gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\frac 1x=\infty\text{ und }\lim_{x\nearrow 0}\frac 1x=-\infty. \end{eqnarray*}$

14.12.2012, 09:00

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Äktschn
In meinem Buch steht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a\mp 0} f(x)= f(a) \end{eqnarray*}$
wobei - für linksseitig und + für rechtsseitig Stetig steht. Aber was ist mit der 0? Setze ich für 0 jetzt einen Wert ein der entsprechend Links- bzw. Rechts davon liegt?

$\begin{eqnarray*} x \to a-0 \end{eqnarray*}$ bedeutet, daß x von links gegen a geht oder anders gesagt, daß x < a ist.
$\begin{eqnarray*} x \to a+0 \end{eqnarray*}$ bedeutet, daß x von rechts gegen a geht oder anders gesagt, daß x > a ist.

14.12.2012, 09:42

Äktschn

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Hmm, ok danke erstmal für die Antworten

Zitat:

Original von Jello Biafra
Von der eigenwilligen Notation mal abgesehen ist das auch inhaltlich falsch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1}\frac{1}{x^{4}-1 } \Rightarrow_{x \to 1} \frac{1}{1- 1} = \frac{1}{0}= 0 \end{eqnarray*}$

Vielmehr gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\frac 1x=\infty\text{ und }\lim_{x\nearrow 0}\frac 1x=-\infty. \end{eqnarray*}$

Hier tauchen jetzt aber leider die nächsten Fragen auf. Ich hatte $\begin{eqnarray*} {x \to 1} \end{eqnarray*}$ gehen lassen bzw. $\begin{eqnarray*} {x \to -1} \end{eqnarray*}$ weil ich es ja für die Punkte $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-1)=1 \end{eqnarray*}$ prüfen soll.

Du lässt jetzt die Harmonische Reihe links- und rechtsseitig gegen 0 gehen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\frac 1x=\infty\text{ und }\lim_{x\nearrow 0}\frac 1x=-\infty. \end{eqnarray*}$
Ist das jetzt einfach eine Abschätzung die ich so machen kann? Bzw. Zeige ich nicht damit nur das die Funktion in 0 unstetig ist? Oder stehe ich jetzt mal wieder auf dem Schlauch?? verwirrt

verwirrt

14.12.2012, 10:06

Jello Biafra

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Das hier

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1n \end{eqnarray*}$

ist die harmonische Reihe.

Somit kann ich Deinen letzten Beitrag überhaupt nicht einordnen.

Nur um Dir zu verdeutlichen, dass folgendes

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \ldots=\frac 10=0 \end{eqnarray*}$

grob falsch ist hatte ich die beiden Grenzwerte mal angegeben.

14.12.2012, 10:25

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Äktschn
Ich hatte $\begin{eqnarray*} {x \to 1} \end{eqnarray*}$ gehen lassen bzw. $\begin{eqnarray*} {x \to -1} \end{eqnarray*}$ weil ich es ja für die Punkte $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-1)=1 \end{eqnarray*}$ prüfen soll.

Und wie hast du das gemacht? Einfach x=1 in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^4-1} \end{eqnarray*}$ einsetzen geht ja nicht, da du dann auf einen nicht definierten Ausdruck kommst.

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14.12.2012, 11:52

Äktschn

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Ich glaube jetzt bin ich ganz raus, dabei dachte ich es wäre so einfach.

Also meine korrigierte Aussage wäre:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \Rightarrow_{x \to 1} \frac{1}{1- 1} = \frac{1}{0}= \infty \neq f(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \Rightarrow_{x \to - 1} \frac{1}{1- 1} = \frac{1}{0}= \infty \neq f(- 1) \end{eqnarray*}$

Aber das darf ich nicht machen, weil ich wenn ich die 1 bzw. -1 einsetze auf einen nicht definierten Ausdruck komme.

Benutze ich für diese Aufgabe das falsche Kriterium? Könnt ihr mir vieleicht den Ansatz verraten wie ich diese Aufgabe lösen kann/muss.

14.12.2012, 11:59

Äktschn

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Bevor ich mich jetzt weiter verrenne:

Es muss herauskommen das die Funktion nur bei Werten x<-1 und x>1 stetig ist oder?

14.12.2012, 12:18

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Äktschn
Bevor ich mich jetzt weiter verrenne:

Es muss herauskommen das die Funktion nur bei Werten x<-1 und x>1 stetig ist oder?

Natürlich ist die Funktion auch stetig für -1 < x < 1 . smile

smile

Merke: der Quotient von 2 Polynomen ist außerhalb der Nullstellen des Nenners immer stetig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \end{eqnarray*}$ betrachtest du $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \end{eqnarray*}$ .

Nutze dazu noch die Umformung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^4 -1} = \frac{1}{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2 +1)} \end{eqnarray*}$ .
Da kannst du leicht ablesen, welches Vorzeichen der Nenner in der Nähe von 1 hat, wenn x > 1 bzw. x < 1 ist.

Und schreiben kannst du das beispielsweise so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } =\lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2 +1)} = -\infty \end{eqnarray*}$

Analog betrachtest du das ganze für x=-1.

Und so sieht der Plot richtig aus:

Ja die Klammern bringen so manchen ins Grab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.12.2012, 12:40

Äktschn

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Ok also habe ich das Kriterium einfach falsch angewendet und den Bruch umzuschreiben soweit habe ich nicht mehr gedacht. Vielen Dank erstmal. Werde mir das jetzt verinnerlichen und hoffentlich nicht mehr Falsch machen. Gott

Gott

Zitat:

Original von klarsoweit
Merke: der Quotient von 2 Polynomen ist außerhalb der Nullstellen des Nenners immer stetig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das kannte ich noch nicht.

14.12.2012, 12:59

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Das ist aber Schulstoff. smile

smile

14.12.2012, 18:29

Äktschn

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Ja mag sein, aber ich habe nur Fachhochschulreife durch die Meisterschule zuerkannt bekommen. Wir haben zwar gesagt bekommen das Funktionen auch unstetig sein können das wars aber auch zu dem Thema. Augenzwinkern

Augenzwinkern

nun zum Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } =\lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2 +1)} = -\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } =\lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2 +1)} = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow -1} \frac{1}{x^{4}-1 } =\lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2 +1)} = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow -1} \frac{1}{x^{4}-1 } =\lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{(x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^2 +1)} = -\infty \end{eqnarray*}$

Soweit war es ja erstmal nur der Ansatz den du mir geben hast.

nun zur Schlussfolgerung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \neq\lim_{x \searrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow -1} \frac{1}{x^{4}-1 } \neq\lim_{x \searrow -1} \frac{1}{x^{4}-1 } \end{eqnarray*}$
Darus folgt: f(1) und f(-1) sind unstetigkeitsstellen der Funktion f(x)

Kann ich jetzt daraus auch Schlussfolgern das die Funktion für alle anderen x Werte stetig ist?

14.12.2012, 20:16

Äktschn

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so müsste es glaube ich lauten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \neq\lim_{x \searrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 }\neq f(1) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow -1} \frac{1}{x^{4}-1 } \neq\lim_{x \searrow -1} \frac{1}{x^{4}-1 }\neq f(-1) \end{eqnarray*}$

14.12.2012, 21:37

Äktschn

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Nach dem ich nochmal mein Buch und das Skript studiert habe kam mir jetzt folgendes in den Sinn: Differenzierbare Funktionen sind stetig.

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \frac{1}{x^{4} - 1} = \frac{-4x^{3} }{\left(x^{4} -1\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

Zum einen die Frage ist die Ableitung korrekt und zum anderen reicht das als Beweis für stetigkeit in Verbindung mit den beiden Unstetigkeitsstellen?

17.12.2012, 09:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Äktschn
so müsste es glaube ich lauten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 } \neq\lim_{x \searrow 1} \frac{1}{x^{4}-1 }\neq f(1) \end{eqnarray*}$

Prinzipiell ist das richtig. Allerdings reicht schon ein Grenzwert, bei dem plus oder minus unendlich rauskommt, als Begründung für die Unstetigkeit aus.

Zitat:

Original von Äktschn
Nach dem ich nochmal mein Buch und das Skript studiert habe kam mir jetzt folgendes in den Sinn: Differenzierbare Funktionen sind stetig.

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \frac{1}{x^{4} - 1} = \frac{-4x^{3} }{\left(x^{4} -1\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

Zum einen die Frage ist die Ableitung korrekt und zum anderen reicht das als Beweis für stetigkeit in Verbindung mit den beiden Unstetigkeitsstellen?

Prinzipiell ist der Gedankengang richtig (ebenso die Ableitung), aber etwas mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Es reicht die Betrachtung, daß der Quotient von zwei stetigen Funktionen außerhalb der Nullstellen des Nenners stetig ist. smile

smile

17.12.2012, 19:18

Äktschn

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Zitat:

Original von klarsoweit
Prinzipiell ist der Gedankengang richtig (ebenso die Ableitung), aber etwas mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Es reicht die Betrachtung, daß der Quotient von zwei stetigen Funktionen außerhalb der Nullstellen des Nenners stetig ist. smile

smile

Vielen Dank nochmal für die Hilfe, hab es jetzt auch so aufgeschrieben. Hab zunächst gedacht ich dürfte das nicht verwenden, da wir nur Beweise benutzen dürfen die im Skript stehen bzw. wir in den Übungsblättern selbst hergeleitet haben. Mittlerweile habe ich es aber ein wenig umständlicher Formuliert im Skript gefunden. Hammer

Hammer

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