Extremwertbestimmung mit Nebenbedingung

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Lenali Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertbestimmung mit Nebenbedingung
Meine Frage:
Es geht im eine Aufgabe aus der Vorlesung "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler"

Sitze nun schon seit 4 Stunden an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter!

Gegeben sei die Funktion
f(x1,x2)=x1*x2
Man bestimme die lokalen Extremwerte unter der Nebenbedingung

x1²=x2+3


Meine Ideen:

1. Schritt LL(x1,x2, diesem umgedrehten y) x1*x2+y*(x1²-x2-3)

2. Ich habe die Ableitungen erster und zweiter Ordung gebildet:
L'x1= x2+2yx1
L'b=x1-y
L'y=x1²-x2-3

und dann eben die 2. Ordung aber zu dernen Verwendung kam ich gar nicht erst.

3. habe dann versucht die Ableitungen = 0 zu setzten und so nach und nach eine varibale eliminieren zu können aber irgendwie kam ich da immer auf seltsame ergebnisse und nie auf die, die in den Lösungen angegeben sind!




Weiß da jemand vielleicht mehr und kann mir aufzeigen was ich tun muss um auf die Extrema zu kommen? zunächst die möglichen? Also bis zur hinreichenden Bedingen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das "umgedrehte y", , nennt sich Lambda und ist ein Buchstabe aus dem griechischen Alphabet.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt (aus der Schule), welche Bedingung eine Funktion für einen Extremwert erfüllen muss?
Lenali Auf diesen Beitrag antworten »

Japs weiß ich smile

f'(x)=0 und f''(x)=0 Augenzwinkern

hab andere aufgaben der gleichen Art auch seltsamerweise hinbekommen nur bei der klappt das irgendwie nicht so ganz ...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenali
Japs weiß ich smile

f'(x)=0 und f''(x)=0 Augenzwinkern

hab andere aufgaben der gleichen Art auch seltsamerweise hinbekommen nur bei der klappt das irgendwie nicht so ganz ...


Teilweise richtig: ja, , aber nicht , ganz im Gegenteil. Für einen Extremwert muss gelten: . Bei liegt ein Sattelpunkt vor, kein Extrempunkt.

Die Gleichung mit der Ableitung nach liefert nur wieder die Zwangs- bzw. Nebenbedingung.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Poste doch bitte mal die Bestimmungsgleichungen für . Vielleicht wirst du dann sehen, wie einfach das lösbar ist.
 
 
Lenali Auf diesen Beitrag antworten »

Habs jetzt rausbekommen :-) ..glaube ich und zwar:

mit der Nebenbedingung



I. [latex]L'x=y*2*\lambda *x[\latex]
usw usw ist ja mega anstrengend die formel einzugeben
jedenfalls habe ich dann für

p1 (-1,-2) mit lambda=2

und

P2 (1,-2) mit lambda=-1
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Nur ein unbedeutender Fehler: Das eine Lambda ist nicht 2 sondern 1 , wie du aus
dieser Gleichung erkennen kannst


Aber nach dem Wert von Lambda wird bei solchen Aufgaben aber eigentlich nie gefragt.
Lenali Auf diesen Beitrag antworten »

mein problem bei dem ganzen ist eigentlich nicht das prinzip. Das habe ich soweit verstanden. Ableitungen bilden klappt auch.
Aber dann habe ich ja bei einer Funktion mit n variablen auch n erste ableitungen.
Ich weiß schon, dass ich die dann nach x,y oder z usw auflösen muss und dann die eine in die andere gleichung einsetzten und so weiter. Aber ich rechne ganz ganz oft 100 wege bis ich den einen richtigen gefunden hab.

Gibt es da sowas wie ein Regelwerk welche Funktion ich zuerst auflöse bzw welche Variable zuerst ?
Oder vielleicht eine ganz andere sicherere Lösungsvariante die mich zur richtigen Lösung bringt und für die weniger Mathematisches Sehvermögen gefragt ist?!!?

So nach dem Motto
1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt ?!


Bin nämlich echt maximal am verzweifeln und überlege schon mein STudium hinzuschmeißen weil das mit Mathe einfach nicht klappen mag!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenali


Gibt es da sowas wie ein Regelwerk welche Funktion ich zuerst auflöse bzw welche Variable zuerst ?
Oder vielleicht eine ganz andere sicherere Lösungsvariante die mich zur richtigen Lösung bringt und für die weniger Mathematisches Sehvermögen gefragt ist?!!?

So nach dem Motto
1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt ?!


Bei solchen Problemen, gibt es nur das Schema:

1.) Lagrange-Funktion aufstellen, wobei die Nebenbedingungen mit jeweils einem Lagrange-Multiplikator versehen zu der zu maximierenden Funktion dazu addiert werden ( es kann durchaus mehrere Nebenbedingungen geben).

2.) Lagrange-Funktion partiell nach allen Variablen ableiten und die Ableitungen =0 setzen, man will ja einen Extrempunkt finden. Die Ableitungen nach den Lagrangeparametern kann man sich sparen, da dies nur wieder die ohnehin bekannten Nebenbedingungen liefert.

3.) Die entstehenden Gleichungen lösen. Meist handelt es sich bei euren Übungsaufgaben um einfache Gleichungssysteme. Welche von den Gleichungen man zuerst auflöst, kann man nicht von vorneherein sagen. Man kann aber immer sagen, dass die Lagrangeparameter durch Variablen ausgedrückt werden müssen, da die Bestimmung der Lagrangeparameter fast immer unnötig ist. In dem hier behandelten Fall ist es sehr einfach, da der Lagrangeparameter wegen
direkt durch die Variable ersetzt werden kann.

Ansonsten kann man keine Patentrezepte geben, man muss seine Intuition entwickeln und das tut man durch vieles Üben.

Zum Thema "Hinschmeißen": Aller Anfang ist schwer und auf dem Gebiet der Mathematik besonders. Aber es wird einfacher, wenn man sich erst mal an die neue Denkweise gewöhnt hat. Ich habe eine Freundin, die hatte vor dem Studium sehr wenig Ahnung von mathematischen Zusammenhängen und Verfahren. Analysis I war eine einzige Katastrophe bei ihr. Aber sie hat ein Statistikstudium in Regelzeit mit Master abgeschlossen. Also nicht verzweifeln, zumal es den meisten anderen wohl ähnlich geht wie dir.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nebenbei bemerkt, kann man diese Aufgabe auch "klassisch" rechnen, also ohne die Multiplikatoren. Dazu wird aus der Nebenbedingung gerechnet:



und dies in die Hauptbedingung (zu maximierende Funktion) eingesetzt:





Das Vorzeichen der 2. Ableitung gibt direkt an, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.
Bei der Lagrange-Methode ist dies nicht so einfach, denn dort ist dann die Definitheit der Hesse-Matrix zu bestimmen.

mY+
Lenali Auf diesen Beitrag antworten »

Danke vielmals!

Ich bin schonmal einen Schritt weitergekommen. Nämlcih, dass die Suche nach einer Patentlösung unnötig ist. Ich dachte da an sowas wie den Gauß-Algorithmus usw .... HILFE

Mein Problem besteht allerdings immer noch darin, dass ich ganz oft auf Ergebnisse komme (immerhin!) und diese erscheinen mir dann auch plausibel zB (05,2) mit lambda 1 ...in wahrheit sind es dann aber (1,2) mit lambda 3 oder so -

und wenn ich es dann 100 mal umgerechnet und anders angfangen habe komme ich auch auf dieses Ergebniss. Aber ich sehe einfach nicht wie ich zur richtigen Lösung komme.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

nicht verrechnen, was soll man sonst für einen Tipp geben?
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