Anzahl Quadrate im Restklassenring [Zahlentheorie]

14.12.2012, 15:37

nicholas

Anzahl Quadrate im Restklassenring [Zahlentheorie]

Meine Frage:
Es sei n eine quadratfreie natürliche Zahl. Bestimmen Sie die Anzahl der Quadrate in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich würde behaupten, dass a Quadrat ist genau dann, wenn es modulo allen Primfaktoren von n ein Quadrat ist. Modulo Primzahlen kennne ich die Anzahl der Quadrate. Aber das hilft mir ganz und gar nicht dabei zu erkennen, wieviele von diesen auch Quadrate modulo der anderen Primfaktoren sind. Ich könnte höchstens eine obere Grenze für die Anzahl der Quadrate angeben, nämlich das Minimum der Anzahl Quadrate mod Primfaktor...

15.12.2012, 12:03

Mystic

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RE: Anzahl Quadrate im Restklassenring [Zahlentheorie]

Zitat:

Original von nicholas
Ich würde behaupten, dass a Quadrat ist genau dann, wenn es modulo allen Primfaktoren von n ein Quadrat ist.

Richtig... Freude

Zitat:

Original von nicholas
Modulo Primzahlen kennne ich die Anzahl der Quadrate.

Aha, und warum teilst du uns dieses Wissen nicht mit... verwirrt

Zitat:

Original von nicholas
Aber das hilft mir ganz und gar nicht dabei zu erkennen, wieviele von diesen auch Quadrate modulo der anderen Primfaktoren sind. Ich könnte höchstens eine obere Grenze für die Anzahl der Quadrate angeben, nämlich das Minimum der Anzahl Quadrate mod Primfaktor...

Unsinn, lies doch einfach noch einmal das erste obige Zitat gewissenhaft und mit Verständnis durch... unglücklich

16.12.2012, 00:25

nicholas

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RE: Anzahl Quadrate im Restklassenring [Zahlentheorie]
Ich glaube ich habs.

Modulo p gibt es $\begin{eqnarray*} \frac{p-1}{2} + 1 \end{eqnarray*}$ Quadrate (wenn p jetzt mal nicht 2 ist) Dann kann man doch den CRS anwenden und das Produkt über alle Primfaktoren über die Anzahl der Quadrate nehmen
Also:
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{t} ( \frac{p_{i}-1}{2}+1 ) \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} n= p_{1} .... p_{t} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

16.12.2012, 08:21

Mystic

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RE: Anzahl Quadrate im Restklassenring [Zahlentheorie]
Ja, das stimmt für ungerades n, nur solltest auf den Fall, dass n gerade ist, schon noch etwas genauer eingehen... Und ja, es gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{p_i-1}2+1=\frac{p_i+1}2 \end{eqnarray*}$

das schaut doch gleich schöner aus... Augenzwinkern

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