Dimension g verknüpft f

14.12.2012, 17:22	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension g verknüpft f Hallo! Meine Aufgabe lautet: Es seien $\begin{eqnarray} U,V,W \end{eqnarray}$ endlichdimensionale Vektorräume, $\begin{eqnarray} f \in Hom(U,V ), g \in Hom(V,W). \end{eqnarray}$ Beweisen Sie: $\begin{eqnarray} dim((g \circ f)(U)) \leq min \lbrace dim(f(U)),dim(g(V)) \rbrace \end{eqnarray}$ Ich hab leider relativ wenig Ahnung wie ich vorgehen sollte. Ich denke mal, dass man dies eventuell über die Dimensionsformel beweisen könnte? Also mittels $\begin{eqnarray} dim(U+V)=dimU+dimV-dim(U \cap V) \end{eqnarray}$ ? Dankeschön im Voraus!
15.12.2012, 10:20	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension g verknüpft f Oder komm ich hier eventuell weiter, wenn ich verwende, dass der Zeilenraum von AB Teilraum vom Zeilenraum von B ist, und Unterraum vom Spaltenraum von A?
15.12.2012, 12:37	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimensionsformel gilt nicht in deinem Fall, sie gilt nur für Unterräume eines Vektorraums. Eigentlich sollte das klar sein, denn was soll $\begin{align} U+V \end{align}$ oder $\begin{align} U\cap V \end{align}$ sein, wenn $\begin{align} U \end{align}$ und $\begin{align} V \end{align}$ nicht einen gemeinsamen Oberraum haben? Man kann aber anders argumentieren. Es gilt ja $\begin{eqnarray} dim(f(X)) \le dim(X) , X\subset U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim(g(Y)) \le dim(Y), Y \subset V \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} dim((g\circ f)(U)) = dim(g(f(U))) \le dim(f(U)) \end{eqnarray}$ Daraus und $\begin{align} dim(f(U)) \le dim(V)\Rightarrow dim(g(f(U)))\le dim(g(V)) \end{align}$ folgt $\begin{eqnarray} dim((g\circ f)(U)) \le \min\{dim(f(U)),dim(g(V))\} \end{eqnarray}$
15.12.2012, 12:59	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön für die Rückmeldung! Ich hätte da nur ein, zwei Fragen dazu. bzgl $\begin{eqnarray} dim(f(U)) \le dim(V)=>dim(g(f(U))) \le dim(g(V)) \end{eqnarray}$ ...das darf man sagen, weil das Bild ein Unterraum von V ist, und das dann immer gilt, oder?
15.12.2012, 13:21	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Weil $\begin{align} f(U) \end{align}$ ein Unterraum von $\begin{align} V \end{align}$ , gilt natürlich, dass $\begin{align} dim(g(f(U))) \end{align}$ auf alle Fälle kleiner oder gleich $\begin{align} dim(g(V)) \end{align}$ ist.
15.12.2012, 13:35	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen lieben Dank, ich weis einfach nie wie ich einen Ansatz für solche Beispiele finden soll...Dankeschön
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