Trägheitsmomente und Trägheitstensor

14.12.2012, 17:44

AmazingSam

Trägheitsmomente und Trägheitstensor

Hallo zusammen,

ich stehe gerade vor folgender Aufgabe:

Ein starrer Körper besteht aus den drei Massenpunkten M1, M2 und M3 mit Massen m(1) = 4, m(2) = 1 und m(3) = 1, die sich auf den Koordinaten r(1) = (1,0,0), r(2) = (0,1,2) und r(3) =(0,4,1) befinden. Damit ist der Trägheitstensor des Körpers

I = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 22 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & -6 \\ 0 & -6 & 21 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie seine Eigenwerte und Eigenvektoren. Was ist deren Bedeutung?

b) Geben Sie die Matrizen S und S-1 an, die den Trägheitstensor diagonalisieren. Wie lässt sich deren Wirkung verstehen?

Hier hänge ich gerade an den Eigenwerten fest. Der Ansatz denke ich ist richtig aber das Endergebnis sieht komisch aus.

$\begin{eqnarray*} det(I - \lambda )= det\begin{pmatrix} 22-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 9-\lambda & -6 \\ 0 & -6 & 21-\lambda \end{pmatrix} = (22-\lambda )\begin{vmatrix} 9-\lambda & -6 \\ -6 & 21-\lambda\end{vmatrix} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> (22-\lambda)((9-\lambda )(21-\lambda ))-36) = (22-\lambda)((\lambda ^2-30\lambda -153) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt ausmultiplizieren würde käme bei mir

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^3+52\lambda ^2-507\lambda -3366 \end{eqnarray*}$

raus. Eigenwerte: $\begin{eqnarray*} \lambda1 = 34,442; \lambda2 = 22; und \lambda3 = -4,442 \end{eqnarray*}$ . Ich glaube nicht, dass das richtig ist. Kann mir da vielleicht jemand helfen? smile

edit von sulo: Zeilenumbruch für die bessere Lesbarkeit des Threads eingefügt.

14.12.2012, 18:12

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ergibt bei dir 9*21-36; Achtung Vorzeichen!!!!
Produkte der Determinante nicht ausmultiplizieren, da es in der Produktform leicht ist die erste Nullstelle direkt abzulesen. Der Rest ist hier nur noch eine quadratische Form (pq-Formel):

Physik: Eigenwerte eines Trägheitstensors können nie negativ sein (außer die Masse eines Teilkörpers wäre negativ)

14.12.2012, 19:16

AmazingSam

Auf diesen Beitrag antworten »

oh blöd stimmt.. dummer Fehler, danke für den Tipp. Da müsste stehen: $\begin{eqnarray*} (22-\lambda )(\lambda ^2-30\lambda +153) \end{eqnarray*}$ . Für die erste Nullstelle bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} \lambda1 = 22 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich die anderen Nullstellen mit der pq-Formel löse bekomme ich da aber auch wieder so ein krummes Zeug raus:

$\begin{eqnarray*} 15\pm \sqrt{(-15)^2 -153} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda 2=23,48 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda 3=6,51 \end{eqnarray*}$

Mach ich da nicht irgendwo noch einen Fehler? verwirrt

15.12.2012, 16:37

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab Vertrauen in Dich.
Soweit ich dein Ergebnis beurteilen kann, sind die Eigenwerte richtig. Die Praxis ist leider selten ganzzahlig.

Zur Bedeutung der Eigenwerte: Eigenwerte ändern sich nicht, falls man ein anderes Koordinatensystem (gedreht) wählt. Denke dir eine Drehmatrix Q, mit der Vektoren bzgl. des Hauptachsensystem abgebildet werden in Vektoren bzgl. des urspünglich gewählten Koordinatensystem, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} Q^T \cdot I \cdot Q =\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}_{HAS} \end{eqnarray*}$ . Die Matrix auf der rechten Seite bezieht sich auf das Hauptachsensystem für den betrachteten Körper. Wären alle drei Eigenwerte gleich groß, dann wäre unser Körper kugelförmig hinsichtlich seiner Trägheitsmomente; zwei gleich große Werte bedeutet der Körper ist kreisförmig in der Ebene, die durch deren Eigenvektoren aufgespannt wird. Ist ein Eigenwert=0, dann liegt ein idealer Stab vor, da dieser bei Drehungen um den zugehörigen Eigenvektor keine Trägheitsmomente besitzt. Die Eigenwerte werden auch als Trägheitsradien bezeichnet: Stelle die einen Hohlzylinder mit dem Radius $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ um den Eigenvektor vor, der die gleiche Masse, wie der ursprüngliche Körper besitzt. Dieser Hohlzylinder hat bzgl. des Eigenvektors genau das gleiche Trägheitsmoment.

16.12.2012, 09:28

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zyko
Die Eigenwerte werden auch als Trägheitsradien bezeichnet: Stelle dir einen Hohlzylinder mit dem Radius $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ um den Eigenvektor vor, der die gleiche Masse, wie der ursprüngliche Körper besitzt. Dieser Hohlzylinder hat bzgl. des Eigenvektors genau das gleiche Trägheitsmoment.

Dieses ist falsch.
Aus den Eigenwerten können die Tragheitsradien $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_i=r_i^2\cdot M \end{eqnarray*}$ berechnet werden. Hierin ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Gesamtmasse des Körpers. Stelle dir einen Hohlzylinder mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ um den Eigenvektor vor, der die gleiche Masse, wie der ursprüngliche Körper besitzt. Dieser Hohlzylinder hat bzgl. seiner Achse genau das gleiche Trägheitsmoment.

Neue Frage »

Antworten »

Trägheitsmomente und Trägheitstensor

Verwandte Themen