Stetigkeit mit Epsilon/Delta Definition beweisen

14.12.2012, 18:26	gast36584	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit mit Epsilon/Delta Definition beweisen Meine Frage: Hallo, gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ Wir sollen nun zeigen, dass diese im Intervall [0,2] stetig ist. Aus der Vorlesung habe ich folgende Infos mitgenommen: Eine Funktion ist stetig wenn gilt: $\begin{eqnarray} \|x-x0\| < \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x0)\|< \epsilon \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Auf meine funktion angewendet habe ich dann folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} -\sqrt{x0}\|<\epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x-2\sqrt{xx0}+x0\|<\epsilon² \end{eqnarray*}$ Soweit ich weiß, muss ich links so umformen, dass \|x-x0\| dort steht. Ist das richtig? Und wie gehts jetzt genau weiter?
15.12.2012, 14:07	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Erstmal möchte ich deine Definition von Stetigkeit komplettieren. Laut Wikipedia ist Stetigkeit wie folgt definiert: Die Funktion $\begin{eqnarray} f \colon [0,2] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ ist stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \in [0,2] \end{eqnarray}$ , wenn es zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray} x \in [0,2] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x - x_0\| < \delta \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(x_0)\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ . Dein Ziel ist also, ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ zu finden, dass die geforderten Eigenschaften erfüllt. Dazu betrachte $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(x_0)\| = \|\sqrt x - \sqrt{x_0}\| \le \sqrt{\|x - x_0\|} < \sqrt \delta \end{eqnarray}$ . Aus dieser Abschätzung kannst du folgern, wie dein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ aussehen muss. Dieses hängt im Allgemeinen von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ab, bei deiner Funktion aber nur von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ , da die Wurzelfunktion sogar gleichmäßig stetig ist, wie man sich überlegen kann. LG.
17.12.2012, 15:13	gast36584	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Aus dieser Abschätzung ergibt sich dann folgendes: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x0)\|=\|\sqrt{x} -\sqrt{x0}\|\leq \sqrt{\|x-x0\|}<\sqrt{\delta}=\epsilon<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta=\epsilon² \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit?
17.12.2012, 19:48	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist korrekt.

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