Extremwert / Abgebrochenes Dreieck / Größt mögliches Rechteck

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whyris Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwert / Abgebrochenes Dreieck / Größt mögliches Rechteck
Hallo zusammen,

ich habe am Samstag eine Klausur abgelegt und eine Aufgabe quält mich immer noch, weil ich einfach nicht rausbekomme wie sie zu lösen ist. Vielleicht könnt ihr mir helfen:

Ein Quadrat 100 cm x 60 cm wurde aus Blech hergestellt. Leider ist jetzt aber ein rechtwinkliges Dreieck herraus gebrochen. Die kürzesten Seiten des Dreicks sind 15 cm und 10 cm. Aus dem übrigen Stück soll jetzt wieder ein Rechteck hergestellt werden mit der größt möglichen Fläche. Wie groß ist die Fläche und wie lang und breit ist das neue Rechteck?

Mein Problem ist, das ich ja gar nicht weiß ob die 15 cm bei den 100 cm oder bei den 60 cm abgebrochen sind. Und mir sind weder vernünftige Nebenbedingungen noch eine hilfreiche Hauptbedingung eingefallen. Habt ihr da eine Idee?

Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert / Abgebrochenes Dreieck / Größt mögliches Rechteck
Zitat:
Original von whyris
Mein Problem ist, das ich ja gar nicht weiß ob die 15 cm bei den 100 cm oder bei den 60 cm abgebrochen sind.

Das sollte eigentlich aus der Aufgabe hervorgehen. Nimm an, daß die 15-cm Seite aus der 100-cm-Rechteckseite rausgebrochen sind.

Benenne die neuen Rechteckseiten mit x und y. Die Differenzstücke zu 100 bzw. 60 cm findest du in dem Dreieck. Die kannst du über einen Strahlensatz in Verbindung bringen.
whyris Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das habe ich mir schon fast gedacht, dass das eigentlich vorgegeben sein muss.
Erstmal vielen Danke für die Hilfe, aber kannst du mir auch noch erklären wie so ein Strahlensatz funktioniert? So etwas habe ich noch nie gerechnet.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von whyris
So etwas habe ich noch nie gerechnet.

Wie konnte das passieren? verwirrt

Also hier eine Skizze und Beschreibung:

In der Skizze ist das Dreieck ADE das abgeschnittene Stück.
Dann ist: Strecke AD=15, Strecke DE=10, Strecke BD=100-x, Strecke BC=60-y,
Strecke AB = 15 - Strecke BD

Jetzt Strahlensatz anwenden (die Strahlensätze sollten eigentlich bekannt sein):


Jetzt alles einsetzen und dann nach y umstellen.
whyris Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das hab ich jetzt verstanden. Aber damit rechne ich doch nicht den maximalen Flächeninhalt aus.

Ich habe gedacht, dass ich das in ein Koordinatensystem einzeichne und dann an der abgebrochenen Stelle eine Gerade ziehe die ich ja berechnen kann (Steigungsfaktor = 15/10). Damit kann ich dann eine Flächengleichung aufstellen und mit Hilfe der ersten Ableitung auf den Extremwert, das Maximum errechnen. Leider happert es aber in meiner Ausfuehrung.

Hast du oder vielleicht auch jemand anders eine Idee dazu?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also etwas Mitdenken hatte ich schon erwartet. unglücklich

Die Fläche des neuen Rechtecks ist A = x * y.
Über den Strahlensatz bringst du x und y in Beziehung. Wenn du diese Beziehung nach y auflöst und in die Flächenformel einsetzst, dann ist die Fläche nur noch von x abhängig und du kannst das Maximum bestimmen. Augenzwinkern
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg über das Bestimmen der Geradenfunktion geht sehr leicht über diese Skizze, in der du nur auf die Länge der beiden roten Rechtecksseiten kommen musst (in Abhängigkeit von x).



Aber führe erstmal klarsoweits Ansatz mit dem Strahlensatz zu Ende smile

Gruß Björn
whyris Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich bin ich mir ziemlich sicher, dass es mit der Geraden funktionieren muss, da wir auch nur so diese Aufgaben gerechnet haben im Unterricht. Kannst du deine Loesung bitte weiter ausfuehren?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Meinen Lösungsweg habe ich schon ausführlich genug beschrieben. Der Weg über eine Geradengleichung für die Hypothenuse des Dreiecks ist auch ok (vielleicht sogar eleganter). Also stell mal die Geradengleichung auf und überlege weiter.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Welche Länge haben die roten Seiten a und b des Rechtecks ?

2. Wie lautet die Funktion f(x), die diese Teilgerade beschreibt ? (Den y-Achsenabschnitt kann man ja prima ablesen und die Steigung hast du ja oben schon genannt...nur denk ans Vorzeichen)

Am Schluss alles in A(x)=a*b einsetzen und dann maximieren.

Kannst ja mal posten wie weit du kommst....
Der Weg von klarsoweit ist aber wie gesagt auch schön, er setzt zwar Wissen aus der 9. Klasse voraus (was schon was länger her ist) aber ist auf jeden Fall elegant smile

Gruß Björn
whyris Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, soweit bin ich:

A = Flächeninhalt des neuen Rechtecks

A = x * (60 - y)

g = 3/2x - 135

einsetzten in A:
A = x * (60 - (3/2x -135))
A = -3/2x² + 195x (<-- stimmt mit sicherheit, habe ich mit Werten überprüft)

Erste Ableitung => A' = -3x + 195

Wenn ich jetzt aber diese Ableitung gleich 0 setzte bekomme ich keinen vernünftigen Wert für x raus. Wo liegt mein Fehler?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Fehler besteht darin, dass die zur x-Achse parallele neue Rechteckseite nicht x LE lang ist sondern 100-x LE smile

Gruß Björn
whyris Auf diesen Beitrag antworten »

Eben nicht. Ein Eckpunkt des Rechtecks, der auf der Geraden liegt hat als x Wert nicht 100-x sondern x.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, hast recht...mein Fehler Hammer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von whyris
Wenn ich jetzt aber diese Ableitung gleich 0 setzte bekomme ich keinen vernünftigen Wert für x raus. Wo liegt mein Fehler?

Die Ableitung ist ok. Zeige deine Rechnung.
whyris Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

0 = -3x + 195 [ -195

-195 = -3x [ unglücklich -3)

65 = x


Der x-Wert muss aber eigentlich zwischen 90 und 100 liegen!
whyris Auf diesen Beitrag antworten »

Der Smilie soll eigentlich ein : und ne ( sein.


verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich aus raus....und weil dieser Wert nicht in der Definitionsmenge liegt musst jetzt eben die Randwerte betrachten.

Gruß Björn
whyris Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich wusste ja schon die ganze Zeit, dass 90 x 60 die richtige Antwort ist. Aber wie errechne ich das?

Grüße
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du A(90) und A(100) berechnest, also die Randwerte überprüfst.

Da für A(90) ein größerer Flächeninhalt rauskommt als bei A(100) ist dies dann der gesuchte Flächeninhalt mit den entsprechenden Seitenlängen.

Gruß Björn
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