rekursiv definierte Folge

15.12.2012, 12:31

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

rekursiv definierte Folge

Hallo,
habe hier eine rekursiv definierte Folge.
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = ( \frac {a_n}{2})^2+1 \end{eqnarray*}$
a(1) sei 0.
n sei Element der natürlichen Zahlen.

Jetzt soll ich zeigen, dass a(n) monoton wächst.
Dafür sollte ja gelten:
$\begin{eqnarray*} a_n \le a_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n \le \frac {a_n^2}{4}+1 \end{eqnarray*}$

Leider schaffe ich es nicht so umzuformen, dass man die Gültigkeit "ablesen" kann.

15.12.2012, 13:30

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursiv definierte Folge

Zitat:

Original von Chabos
Leider schaffe ich es nicht so umzuformen, dass man die Gültigkeit "ablesen" kann.

Denk über quadratische Ergänzung deiner Rekursionsformel nach und zwar in Verbindung mit der 2.Binomischen Formel...

15.12.2012, 14:14

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursiv definierte Folge
Ich kann -a(n) ergänzen und dann rechts faktorisieren:
$\begin{eqnarray*} a_n - a_n \le ( \frac {a_n}{2} - 1)^2 \end{eqnarray*}$
?

15.12.2012, 14:43

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursiv definierte Folge
Falls du etwas ganz anderes, nämlich

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n +\left(\frac{a_n}2-1\right)^2 \end{eqnarray*}$

gemeint haben solltest, liegst du damit richtig...

P.S.: Bitte auch LaTeX-Syntax (s.o.) beachten...

15.12.2012, 14:57

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursiv definierte Folge
Nein das meine ich nicht.

Für den Monotonie-Beweis soll gelten:
$\begin{eqnarray*} a_n \le a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich auf beiden Seiten der Ungleichung -a(n) addieren.
und dann könnte ich auf der rechten Seite faktorisieren.
Natürlich kann ich jetzt wieder a(n) addieren und käme dann auf:
$\begin{eqnarray*} a_n \le a_n + ( \frac {a_n}{2}-1 )^2 \end{eqnarray*}$ Jetzt muss ich beweisen, dass diese Ungleichung für alle n Element der natürlichen Zahlen gilt.

PS: wie man Im LaTex die Klammern so setzt, dass die den ganzen Bruch umschließen, weiß ich leider nicht.

15.12.2012, 15:18

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursiv definierte Folge

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_n \le a_n + ( \frac {a_n}{2}-1 )^2 \end{eqnarray*}$

Ok, ich glaub ich habs. Da das Quadrat der Klammer immer positiv ist, ist die Ungleichung immer erfüllt. Wenn die Klammer 0 ist, haben wir eine geltende Gleichung, was auch ok ist, da die Folge nur monoton wächst (nicht streng monoton).

Anzeige

15.12.2012, 15:21

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rekursiv definierte Folge
Bitt schau dir doch die Formel

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n +\left(\frac{a_n}2-1\right)^2 \end{eqnarray*}$

mal für eine Minute an... Da steht doch, dass man zu $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ etwas Nichtnegatives addiert um auf $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ zu kommen... Was bitte ist denn (steigende) Monotonie sonst, bitte? verwirrt

verwirrt

Und das "Design" von LaTeX-Formeln, wie die oben, siehst du z.B. mit "mouseover"... Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.12.2012, 15:47

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Hilfe.
Hier ist jetzt noch eine Aufgabe, ich soll annehmen, dass die Folge konvergent ist und soll den Grenzwert a bestimmen.

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} a_n = a_{n+1} = a für n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Wie kann ich daraus was sinnvolles klamüsern?

15.12.2012, 15:49

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

... Tippfehler

15.12.2012, 15:50

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chabos
Danke erstmal für die Hilfe.
Hier ist jetzt noch eine Aufgabe, ich soll annehmen, dass die Folge konvergent ist und soll den Grenzwert a bestimmen.

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} a_n = a_{n+1} = a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Wie kann ich daraus was sinnvolles klamüsern?

15.12.2012, 16:06

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau die nochmals den Unterschied zwischen zwei folgengliedern an... Wann ist er 0?

15.12.2012, 16:27

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n = 0 \end{eqnarray*}$ wenn, a(n+1) und a(n) identisch sind.
Sie sind identisch für a(n) = 2.

16.12.2012, 09:01

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn also die Folge konvergiert, dann gegen 2... Aber wie weiß man denn, ob sie konvergiert? verwirrt

verwirrt

16.12.2012, 10:36

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Wert von 2 nie überschritten und erst im Unendlichen erreicht wird.
Problematisch nur, dass meine rekursive Form von a(n) und nicht von n abhängt.

16.12.2012, 10:39

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chabos
Wenn der Wert von 2 nie überschritten [...] wird.

Exakt das solltest du zeigen, z.B. mit vollständiger Induktion nach n.

Zitat:

Original von Chabos
Problematisch nur, dass meine rekursive Form von a(n) und nicht von n abhängt.

Du siehst da ein Problem, wo keines ist... geschockt

geschockt

Wichtig ist ja nur, dass man jedes $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auch wirklich berechnen kann und das ist ja offensichtlich möglich...

16.12.2012, 12:10

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MysticExakt das solltest du zeigen, z.B. mit vollständiger Induktion nach n.

Heißt das, dass ich erst die explizite Form brauche? Habe überhaupt keine Idee, wie ich von meinem jetzigen Standpunkt vollständige Induktion machen soll.

16.12.2012, 12:37

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Die zu beweisende Behauptung ist

$\begin{eqnarray*} a_n \le 2 \quad \forall n \ge 1 \end{eqnarray*}$

Sie gilt wegen $\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ für n=1, d.i. der Induktionsanfang. Nun musst du unter Annahme der Richtigkeit der Behauptung für ein festes (aber sonst beliebiges) $\begin{eqnarray*} n \ge 1 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass sie dann auch für n+1 gilt...

16.12.2012, 13:29

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

für ein festes n > 1 ist das ja kein Problem.
ich hab jetzt folgendes versucht:
$\begin{eqnarray*} a_n \le 2 \end{eqnarray*}$
So. jetzt muss dann ja gelten:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \le 2 \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt für a(n+1) meine rekursive Form nehme:
$\begin{eqnarray*} \frac {a_n^2}{4} +1 \le 2 \end{eqnarray*}$
Die 1 Rüberholen, mit 4 multiplizieren, Wurzelziehen:
$\begin{eqnarray*} a_n \le 2 \end{eqnarray*}$

Wäre das der Beweis?

16.12.2012, 20:00

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hastz den Beweis für die Gültigkeit des Induktionsschlußes total verdreht... Der Grundaufbau ist

$\begin{eqnarray*} a_n \le 2 \Rightarrow \ldots \Rightarrow a_{n+1} \le 2 \end{eqnarray*}$

Du hast im Gegensatz dazu eine Art Zirkelschluss fabriziert, wo am Ende dasselbe wie am Anfang steht... geschockt

geschockt

16.12.2012, 20:04

Chabos

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ habe ich ja gegeben.
Hatte dann eine Ungleichung á la
$\begin{eqnarray*} \frac {a_n^2}{4}+1 \le 2 \end{eqnarray*}$

Weiß leider nicht, wie man da was zweckdienliches rausholen kann. a(n) ist ja der Einzige Parameter, den meine Rekursive Folge enthält.

17.12.2012, 09:24

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chabos
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ habe ich ja gegeben.
Hatte dann eine Ungleichung á la
$\begin{eqnarray*} \frac {a_n^2}{4}+1 \le 2 \end{eqnarray*}$

Weiß leider nicht, wie man da was zweckdienliches rausholen kann. a(n) ist ja der Einzige Parameter, den meine Rekursive Folge enthält.

Was fuer eine seltsame Frage... Klarerweise musst du die Induktionsvoraussetzung über $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ hier ins Spiel bringen...

18.12.2012, 10:20

dirkil

Auf diesen Beitrag antworten »

Führe den Induktionsschritt wirklich durch - setze also die Definition von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ ein. Du erhälst dann so etwas:
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\frac{(\frac{a_n^2}{4}+1)^{2}}4 + 1 \end{eqnarray*}$

Im Zähler steht doch Dein $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , für das Du Deine Induktionsvoraussetzung anwenden kannst. Danach sollte Dir die gesuchte Abschätzung keine Probleme mehr bereiten.

18.12.2012, 20:49

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dirkil
Führe den Induktionsschritt wirklich durch - setze also die Definition von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ ein. Du erhälst dann so etwas:
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\frac{(\frac{a_n^2}{4}+1)^{2}}4 + 1 \end{eqnarray*}$

Warum in aller Welt sollte er das tun? geschockt

geschockt

Schließlich gilt ja einfach

$\begin{eqnarray*} a_n \le 2 \Rightarrow a_{n+1}=\left(\frac{a_n}2\right)^2+1\le \left(\frac22\right)^2+1=2 \end{eqnarray*}$

18.12.2012, 21:15

dirkil

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic

Stimmt, ist eigentlich überflüssig. Danke für den Hinweis.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »