Gleichmässige Konvergenz von x^n

15.12.2012, 16:31

Anahita

Gleichmässige Konvergenz von x^n

Hi

Könnt ihr mir sagen, ob meine Argumentation zu gleichmässiger Konvergenz bzgl. der Funktionenfolge f_n(x) = x^n Sinn macht? Dabei betrachte ich zwei unterschiedliche Intervalle:

1. Die Funktionenfolge f_n(x) = x^n für x in [0,1]

Möchte ich überprüfen, ob f_n(x) gleichmässig gegen f(x) := 0 konvergiert, müsste ich überprüfen, ob die Folge der Suprema: sup_{x in [0,1]} abs(x^n) gegen Null konvergiert.

So, jetzt fange ich bei n=1 ein, und für alle x aus der Definitionsmenge ist das Supremum von abs(x^n) = 1. Dies ist jedoch auch der Fall, wenn ich n=2,3,4...einsetze - das Supremum ist immer = 1 - konvergiert also nicht gegen Null.

2. Fall: Die Funktionenfolge f_n(x) = x^n für x in (0,0.5].
Ich beginne wieder mit n=1, die Grenzfunktion ist wiederum f(x):= 0. Das Suprema für den Fall n=1 ist dabei nun einfach 0.5. Für den Fall n=2 jedoch ist das Supremum 0.5^2 usw. usf.
Die Folge der Suprema strebt gegen Null und damit ist die gleichmässige Konvergenz gegeben.

Stimmt das so? Nicht nur das Ergebnis - sondern sind meine Gedankengänge auch richtig?

Vielen Dank

15.12.2012, 16:44

Che Netzer

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RE: Gleichmässige Konvergenz von x^n
Die Grenzfunktion in 1. ist aber nicht die Nullfunktion; deren Wert an der Stelle Eins ist Eins, nicht Null.

Zu 2. überlege dir mal generell, wie das Supremum für $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,\tfrac12] \end{eqnarray*}$ aussieht – d.h. ohne ein konkretes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

15.12.2012, 17:00

Anahita

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Thx!

1. Ja, da hätte ich einfach [0,1) aufschreiben sollen. Würde dann meine Argumentation stimmen?

2. (1/2)^n, und klar, das konvergiert für n -> oo gegen Null.

Du, mir hat mein Hilfsassistent Folgendes geschrieben:

"Wenn die f_n idiff'bar sind UND f_n gegen f gleichmässig konvergieren, dann ist die Ableitung von f die Grenzfunktion von der Ableitung von f_n."

Aber auf wikipedia steht:

"(...) even if the convergence is uniform, the limit function need not be differentiable, and even if it is differentiable, the derivative of the limit function need not be equal to the limit of the derivatives".
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence

>_>

Wenn ich das richtig verstehe, ist also der Hilfsassistent im Unrecht, ev. hat er den Unterschied zwischen Differentiation und Integration verwechselt? Oder verstehe ich etwas falsch?

15.12.2012, 17:11

Che Netzer

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Jetzt müsstest du noch begründen, wieso $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}x^n=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Und die Aussage über die Differenzierbarkeit würde stimmen, wenn die Ableitungen auch gleichmäßig konvergieren. Vielleicht meinte er das.

15.12.2012, 18:15

Anahita

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Zitat:

Original von Che NetzerUnd die Aussage über die Differenzierbarkeit würde stimmen, wenn die Ableitungen auch gleichmäßig konvergieren. Vielleicht meinte er das.

Stimmt.

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt müsstest du noch begründen, wieso $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}x^n=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Ok, für x = 0 ist f_n(x) = 0.
Sonst ist mir aufgefallen, dass ich gar nicht wüsste, wie man zeigt, dass das Supremum von (0,1) einfach 1 ist....(darauf läufts ja eigentlich hinaus).

Vielleicht per Widerspruch? Unsere Menge ist M = {x^k; x aus (0,1), k aus N}. Sei nun s < 1, dann müsste man zeigen, dass es ein y in M gibt, so dass s < y (und damit die k-te Wurzel aus s kleiner als x). Für k = 1 hätte man für s < 1 immer ein y aus M dass ein epsilon grösser als s ist - aber wie zeigt man das formal?

15.12.2012, 23:56

Che Netzer

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Dass das Supremum von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ Eins ist, dürfte vorausgesetzt werden können.
Hier geht es aber um $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}x^{\color{red}n} \end{eqnarray*}$ .

16.12.2012, 01:34

Anahita

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Für x= 0 ist x^n = 0.
Da x^n auf [0,1) eine monotone Funktion ist, ist also aber 0 < supremum.
Für x^n mit 0 < x < 1 gilt dass x^n gegen Null strebt. Für n = 1 wissen wir ja, dass das Supremum = 1 wäre. Nun gilt aber eben auch x^n > x^n+1. Damit ist 1 das Supremum für beliebiges n.
Das ist sehr unsauber - wie kann man das schöner/besser schreiben?

16.12.2012, 11:15

Che Netzer

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Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht, was du da machst.
Kannst du vielleicht $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1}x^n=1 \end{eqnarray*}$ benutzen?

16.12.2012, 14:09

Anahita

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Hi

Also was ich meinte war das:

- 1 ist eine obere Schranke für die Menge {x^n, 0 <= x < 1, n in N}
- x^n mit x -> 1 ist monton steigend und konvergiert gegen 1
- Dies gilt für beliebige n

Wenn also x^n für x-> für beliebige n gegen die obere Schranke 1 strebt, ist 1 auch das Supremum.

Macht das Sinn?

16.12.2012, 14:22

Che Netzer

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Ja, das hört sich schon besser an.
Den ersten Punkt hättest du auch auslassen können.

16.12.2012, 15:51

Anahita

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Vielen Dank! Ich habe noch eine Frage zu der Vertauschung von Differential und Grenzwert: Bei gleichmässiger Konvergenz ist dies unter bestimmten Bedingungen wie wir oben gesehen haben möglich. Mein Hilfsassistent hat mir nun gesagt, dass man dies bei (unendlichen) Reihen machen darf, wenn diese absolut konvergieren, da "gleichmässige Konvergenz" nur in Bezug auf Funktionenfolgen verwendet wird und nicht hinsichtlich Reihen:

"Als erstes gleichmässige Konvergenz ist bei Funktionenfolgen und absolute Konvergenz ist bei Reihen.
(...)
2) Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, dann ist das Integral/Ableitung von der Reihe gleich der Summe der Integrale/Ableitungen von Reihenmitgliedern."

stimmt das mit der absoluten Konvergenz? Ich hab etwas gegoogelt bin aber immer nur auf Sätze zu gleichmässiger Konvergenz gestossen.
Und warum meint er, kann man in Bezug auf Reihen nicht von gleichmässiger Konvergenz sprechen? Bei Potenzreihen spricht man innerhalb von ihrem Konvergenzradius ja auch von gleichmässiger Konvergenz? >_>

18.12.2012, 14:51

Che Netzer

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Gleichmäßige Konvergenz ergibt tatsächlich nur für Funktionenfolgen Sinn. Funktionenreihen kann man aber natürlich auch als solche auffassen; allerdings nicht "normale" Zahlenreihen – die können nicht gleichmäßig konvergieren.

Das mit der absoluten Konvergenz hört sich aber komisch an.
Er scheint vorauszusetzen, dass die einzelnen Summanden auch differenzierbar sind und wohl manches andere.
Für Potenzreihen kann man Differenzierbarkeit im Innern des Konvergenzbereiches folgern (auch gliedweise); bei allgemeinen Funktionenreihen kenne ich mich nicht sonderlich gut aus.
Es kann aber auch sein, dass die Reihe nur in einem Punkt konvergiert ( $\begin{eqnarray*} \sum n!x^n \end{eqnarray*}$ ) oder trotz absoluter Konvergenz nicht differenzierbar ist ( $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert+0+0+\dotsb \end{eqnarray*}$ ).
Ich würde jedenfalls nochmal nachfragen, wie genau da die Voraussetzungen aussehen.

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