Grenzwert einer Folge berechnen

15.12.2012, 17:44

hoernchen

Grenzwert einer Folge berechnen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage zur Berechnung eines Grenzwertes und komme einfach nicht weiter.

Fragestellung: Berechnen Sie den Grenzwert sofern dieser existiert.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{100^{n} }{(n)!} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Unser Professor hat uns den Tipp gegeben
$\begin{eqnarray*} 100^{n-1} \leq (n-1)! \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n \geq 100 \end{eqnarray*}$ durch Induktion zu beweisen und dann das Sandwich Theorem zu verwenden.
Zuerst einmal verstehe ich nicht, wie er von der Ausgangsfrage auf diese Ungleichung kommt.
Und zweitens, weiß ich nicht, wie ich die Induktion machen soll. Ich brüte seit einer Woche darüber, aber ich weiß immernoch nicht, was ich überhaupt beweisen soll.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand ein bisschen auf die Sprünge helfen könnte.

15.12.2012, 17:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von hoernchen
Unser Professor hat uns den Tipp gegeben
$\begin{eqnarray*} 100^{n-1} \leq (n-1)! \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n \geq 100 \end{eqnarray*}$

Schlechter Tipp, da das erst für $\begin{eqnarray*} n\geq 270 \end{eqnarray*}$ stimmt. Augenzwinkern

Wie auch immer, man kann leicht nachweisen, dass ab einem gewiisen Index die Folge durch eine geometrische Folge $\begin{eqnarray*} aq^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ majorisiert wird, womit es zwangsläufig eine Nullfolge sein muss.

15.12.2012, 17:58

hoernchen

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Ich habe jetzt nochmal nachgeschaut, aber diesen Tipp hat er in unserem Onlineportal hochgeladen.

Wie dem auch sei, könntest du mit bitte genauer erklären, was du damit meinst, HAL 9000?

17.12.2012, 09:14

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge berechnen
Für $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{100^n}{n!} \end{eqnarray*}$ bestimme man $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ .

Folgere daraus, daß es ein q gibt mit 0 < q < 1, so daß $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq q \cdot a_n \end{eqnarray*}$ gilt bis auf endlich viele Ausnahmen.

17.12.2012, 09:33

Jello Biafra

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RE: Grenzwert einer Folge berechnen
Alternativ kannst Du die für alle $\begin{eqnarray*} n>100 \end{eqnarray*}$ gültige Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac{100^n}{n!}\leq \frac{100^{101}}{100!}\cdot \frac 1n \end{eqnarray*}$

beweisen.

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