Reele Zahlen - lineare Abhängigkeit

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Gomox Auf diesen Beitrag antworten »
Reele Zahlen - lineare Abhängigkeit
Hallo Leute!
Habe eine Frage zu 2 Aufgaben aus der Vektorrechnung!

1.) Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a, für die die Vektoren linear abhängig sind.

Die Vektoren sind:



Hier mein Ansatz:

Möglich wäre ja das Aufstellen eines linearen Gleichungssystems:

I r*a + t*2a = 0
II s*a + t = 0
III 2r + 2s = 0

Hier wüsste ich aber nicht, nach welcher Variablen ich denn jetzt genau umformen müsste. Probleme bereitet mir vor allem, dass in keiner der Gleichungen alle 3 Variablen auftauchen. Würden alle 3 Gleichungen alle 3 Variablen enthalten, so könnte ich es mit dem Gauß Verfahren lösen.

Ebenso habe ich herausgefunden, dass man es anscheinend auch mit Hilfe einer Matrix lösen kann. Könnte mir jemand diesen Lösungsweg erklären?

EDIT: Habe mal eine Matrix aufgestellt und die Determinante berechnet. Als Ergebnis habe ich a = -1/2. Bin mir aber unsicher, ob das so geht. :/


2.) Welche Bedingungen müssen die reellen Zahlen a und b erfüllen, damit die Vektoren linear abhängig sind?

Die Vektoren sind:



Ich denke, hier stehe ich vor dem selben Problem wie schon bei der ersten Aufgabe, nur dass es sich diesmal um 2 Konstanten (a & b) handelt.

EDIT: Habe nun auch hier die Determinante ausgerechnet und erhalte als Ergebnis a=b.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deinen beiden Edits: Bei der ersten Aufgabe fehlt noch eine Lösung. Du hast nur eins von zwei möglichen Werten für a gefunden.
Die zweite ist korrekt.

Bzgl Gauß: Um das anzuwenden benötigst Du ein lineares Gleichungssystem. Die Anzahl der Gleichungen und Variablen ist dabei egal. Du kannst in jedem Fall eine Zeilen-Stufenform erzeugen an der Du die Lösung ablesen kannst (sofern sie existiert).
Wenn nicht in jeder Gleichung alle Variablen auftauchen, benötigst Du sogar weniger Rechenschritte, um auf die Lösung zu kommen. Es ist also günstiger.
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