Untermannigfaltigkeit, Atlas

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1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
Untermannigfaltigkeit, Atlas
Hallo zusammen,

Es geht darum nachzuweisen, dass eine 1-dim. Untermannigfaltigkeit des ist und eine Atlas von zu finden.



mit

Zur Überprüfung der Untermannigfaltigkeit betrachte ich die Jaccob'sche:

Sei



Also ist eine 1-dim. Untermannigfaltigkeit.

Nun zum Atlas:

Zunächst einmal die Parametrisierung:

Sei .

Aus und folgt .

Also ist die Parametrisierung von M.

Daher ist die innere Karte:



Nun hänge ich daran, auf eine äußere Karte zu erweitern.

Wenn ich beispielsweiße

mit wähle, so gilt zwar:

,

ist jedoch nicht injektiv, da nicht trivial ist.

Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen,

MfG
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
Zitat:
Sei .

das brauchst du nicht zu sagen, weder x noch t sind irgendwie näher bestimmt.

Zitat:
Also ist die Parametrisierung von M. Daher ist die innere Karte:

nein, das geht immernoch ein bisschen durcheinander. die parametrisierung bildet den kleineren raum (bzgl. der dimension, hier IR) auf die mannigfaltigkeit (hier diese komische kurve im IR^3) ab und ist die inverse einer entspr. inneren karte, die dann bspw. so aussehen würde: . siehe bild.
entsprechend gehen deine überlegungen zur äußeren karte etwas in die falsche richtung.

lg
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
Super Bild, ich denke jetzt habe ich es wirklich verstanden smile

Meine Parametriesierung ist dann also:



H sieht dann so aus:



bijektiv.




Eine Frage hätte ich noch. Unter welchen Umständen muss ich meine Umgebung, auf der die Karte definiert ist einschränken, bzw. wann benötige ich für einen Atlas mehrere Karten?


MfG
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
jo, ich glaube das kommt hin.

Zitat:
Eine Frage hätte ich noch. Unter welchen Umständen muss ich meine Umgebung, auf der die Karte definiert ist einschränken, bzw. wann benötige ich für einen Atlas mehrere Karten?

das kann ich dir so allgemein nicht sagen. aber jedenfalls wenn du solche "kurven" hast, also 1-dim umf, dann kannst du die meistens parametrisieren, also mit nur einer karte darstellen - außer vllt die verhalten sich völlig schlecht, aber mit einem beispiel kann ich da nicht dienen. je höher die dimensionen dann werden desto schwieriger ist die frage wohl allgemein zu beantworten, denn dann hast du vielleicht irgendwelche gebilde mit löchern (torus z.b.), und dann hängt die minimale kartenanzahl für den atlas von der anzahl der löcher ab (aber auch von anderen sachen).
aber das kann man sich für spezialfälle anschaulich immer ganz gut überlegen - denn soeine diffeomorphe abbildung von einer umgebung um einen punkt auf M auf IR^d (also d kleiner als dim des raumes in dem M ist) (das ist also eine äußere karte) macht nichts weiter als diese umgebung zu verzerren (also soetwas wie anschauliche "schnitte" sind nicht möglich, denn sie soll ja stetig sein).
du kannst dir alsi mal überlegen wieviele karten man für die 2-sphäre im IR^2, also den rand der einheitskugel, braucht.
lg
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
Irgendwie lustig, in einer anderen Aufgabe auf dem Blatt soll ich zeigen, dass die angegebenen 6 Karten einen Atlas für die 2-Späre bilden Big Laugh .
Warum das so ist wird mir hoffentlich nach dem Bearbeiten der Aufgabe klar sein.

Vielen lieben Dank für deine Hilfe Wink

MfG
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
es müssen aber nicht mind. 6 sein (was du dir überlegen sollst), es ist nur wahrscheinlich leichter 6 stück wirklich anzugeben als *minimal nötige anzahl an karten* karten.
lg
 
 
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
Ich hab Schwierigkeiten mir das vorzustellen.

Ich hätte so argumentiert (fällt mir etwas schwer):

Ich nehme den Einheitskreis und lasse die dritte Variable "laufen", sodass eben die Sphäre entsteht.
Da ich aber aufpassen muss, weil ich mit einer Karte nur ein Tei (ein Viertel)l des Kreises erwische
(zu gibt es je zwei Lösungen), brauche ich mind. 4 Karten.

MfG
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
mhh, ich sehe nicht ganz was du da machst.
also du willst dir jetzt (anschaulich) überlegen wie viele karten man für die 2-sphäre braucht. dann versuche doch (erstmal) nicht eine genaue abbildungsvorschrift zu finden, sondern dir eben vorzustellen wie du einzelne teile der kugeloberfläche (die umgebungen) zu IR^2 "verzerren" kannst.
lg
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
Ich würde die Kugeloberfläche erst mal in zwei gleich große "Stücke teilen" und diese dann "aufschneiden" und ausbreiten, sodass sie im IR^2 liegen.

MfG
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermannigfaltigkeit, Atlas
wie gesagt ist schneiden verboten. nimm dir doch mal einen "echten" atlas, der hat auch ne weltkarte drin und das entspricht auch etwa dem was hier gemacht wird (nur dass nicht auf ganz IR^2 abgebildet werden kann, denn soein buch ist ja beschränkt, und es ist halt nicht zwingend bijektiv, wenn z.b. alaska 2 mal - links und rechts - auf der karte zu sehen ist; ansonsten enspricht das diffeomorphen abbildungen von der kugel (erde) auf die ebene). du kannst dir also damit ein wenig anschaulich machen was karten "dürfen".
lg
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