Reelle Lösungen - Trigonometrische Funktion

15.12.2012, 19:21

matiko100

Reelle Lösungen - Trigonometrische Funktion

Meine Frage:
Hallo, ich sitze hier schon seit ein paar Stunden an folgenden Aufgaben:

1) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung sin(2x)?cos(2x)=1.
2) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung cos(x)+cos(2x)=0.

Aber ich weiß einfach nicht, wie man das berechnet. Deshalb wollte ich fragen, ob mir jemand einen Ansatz bzw. Tipp geben kann, wie ich so etwas löse.

Meine Ideen:
Zu 1) habe ich bisher das hier gelöst:

sin²(2x)-cos²(2x)=1 (Habe beide Seiten quadriert)

Und jetzt sieht es so bei mir derzeit aus:

(sin(2x)*sin(2x))-(cos(2x)*cos(2x))

Was ich damit nun machen soll, weiß ich überhaupt nicht unglücklich

15.12.2012, 19:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von matiko100
1) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung sin(2x)?cos(2x)=1.

Zunächst mal müsste man mal erfahren, wofür das Fragezeichen in der Gleichung steht. verwirrt

15.12.2012, 19:41

matiko100

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Tippfehler..Ich meinte sin(2x)-cos(2x)=1
Big Laugh

15.12.2012, 19:49

HAL 9000

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In dem Fall dürfte die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ sowie anschließende Anwendung des Kosinus-Additionstheorems helfen

$\begin{eqnarray*} \sin(2x)\sin\left( \frac{\pi}{4} \right)-\cos(2x)\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos\left( 2x+\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ ,

und dann den Kosinus "auflösen" wie üblich.

15.12.2012, 20:04

matiko100

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Achso, danke sehr Big Laugh

Habe gerade alles durchgerechnet und kam einmal auf x= k*Pi - Pi/2, k Element der ganzen Zahlen und x = Pi/4 *k + k*Pi , k Element der ganzen Zahlen

Muss man bei Aufgabe 2) das analog rechnen oder muss ich da etwas ändern? :/

16.12.2012, 13:21

HAL 9000

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Welche Analogie schwebt dir da vor? Augenzwinkern

Bei 2) ist eher angebracht, das Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \cos(2x)=2\cos^2(x)-1 \end{eqnarray*}$ einzusetzen und die dann entstehende quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Zitat:

Original von matiko100
Habe gerade alles durchgerechnet und kam einmal auf x= k*Pi - Pi/2, k Element der ganzen Zahlen und x = Pi/4 *k + k*Pi , k Element der ganzen Zahlen

Wenn du den rot markierten Faktor weglässt, kann ich zustimmen.

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