Faltung

16.12.2012, 12:46

Navy Seal

Faltung

Meine Frage:
HI. Sei $\begin{eqnarray*} r>0{,}H_r:\mathbb R \rightarrow \mathbb R {,}H_r(x)=\frac{1}{r}\mathbb I _{[0{,}r]}(x) \end{eqnarray*}$ .
Hierbei bezeichne $\begin{eqnarray*} \mathbb I \end{eqnarray*}$ die Indikatorfunktion.
Es soll nun $\begin{eqnarray*} H_1*H_1(x) \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} H_1*H_1(x)=\int _{\mathbb R} H_1(x-y)H_1(y)dy=\int _{\mathbb R} \mathbb I _{[0,1]}(x-y) \mathbb I _{[0,1]}(y)dy=\int _{\mathbb R} \mathbb I _{[x-1,x]}(y) \mathbb I _{[0,1]}(y)dy=\begin{cases}<br /> x, & x\in[0,1]\\<br /> 0, & \text{sonst}<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?
PS: Habe die Klammer von Wikipedia kopiert, die fällt ziemlich groß aus, wie kann man das leserlicher machen?

16.12.2012, 13:24

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltung

Zitat:

Original von Navy Seal
PS: Habe die Klammer von Wikipedia kopiert, die fällt ziemlich groß aus, wie kann man das leserlicher machen?

Die Absätze entfernen; die bereiten hier Probleme:
$\begin{eqnarray*} \dotso=\begin{cases}x&x\in[0,1]\\0&\text{sonst}\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Ansonsten solltest du dir den letzten Schritt nochmal ansehen. Was wäre denn für $\begin{eqnarray*} x=\tfrac32 \end{eqnarray*}$ ?

16.12.2012, 14:00

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, man muss auch noch den Fall $\begin{eqnarray*} x\in (1,2] \end{eqnarray*}$ betrachten. Damit ergänzt sich meine Funktion folgendermaßen (nun mit deiner Latex-Korrektur Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} H_1*H_1(x)=\begin{cases} 2-x, & x\in[1,2]\\x, & x\in[0,1]\\0, &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Für den Fall x=1 sind die Lösungen gleich.

16.12.2012, 14:04

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw.
$\begin{eqnarray*} (H_1*H_1)(x)=\begin{cases}1-\lvert 1-x\rvert&x\in[0,2]\\0&\text{sonst}\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$

16.12.2012, 14:39

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine weit aus "schönere" Lösung. Danke für deine Hilfe

16.12.2012, 17:52

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nun dabei $\begin{eqnarray*} H_1*H_1*H_1(x) \end{eqnarray*}$ auszurechnen. Sei $\begin{eqnarray*} H_1*H_1(x)=:f(x) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} H_1*H_1*H_1*(x)=\int _{\mathbb R} \mathbb I _{[x-1,x]}(y)f(y)dy=\int _{[0,2]} \mathbb I _{[x-1,x]}(y)f(y)dy=2\int _{[0,1]} \mathbb I _{[x-1,x]}(y)f(y)dy =\begin{cases} x^2 & x\in[0,2]\\0&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Ich habe im 2. Schritt die Symmetrie ausgenützt.

16.12.2012, 18:37

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Symmetrie wovon genau?

16.12.2012, 18:43

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Funktion f(y). Die ist ja ein Dreieck oder ist das zu naiv verwirrt

Die Indikatorfunktion hat ja im Prinzip keinen Einfluss. Sie sagt mir nur, wann das Integral ungleich 0 ist und in diesem Fall integriere ich über f(y).

16.12.2012, 20:37

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, die hat auch einen Einfluss. Überlege dir das mal.

17.12.2012, 16:52

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, habe mir jetzt mal gedanken gemacht: Also für $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ ist es ersichtlich, dass $\begin{eqnarray*} H_1*H_1*H_1(x)=\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ . Deshalb liegt jetzt die Vermutung nahe, dass für $\begin{eqnarray*} x\in [1,2] \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} H_1*H_1*H_1(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$ gilt (d.h. die Funktion wird an x=1 gespiegelt). Zusammenfassend also:

$\begin{eqnarray*} H_1*H_1*H_1(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2 & x\in [0,1]\\\frac{1}{2}x^2-2x+2 & x\in [1,2]\\0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

17.12.2012, 19:48

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

kleiner push...

18.12.2012, 12:32

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

und noch weiter

18.12.2012, 18:31

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

kleine Erinnerung, da schon auf die zweite Seite gerückt

18.12.2012, 18:43

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Teil für $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ stimmt schonmal.
Ob das Argument mit der Spiegelung so direkt durchgeht, weiß ich nicht, das Ergebnis stimmt aber auch.

18.12.2012, 18:45

Navy Seal

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, super danke.

Neue Frage »

Antworten »

Faltung

Verwandte Themen