Grenzwerte im Mehrdimensionalen

16.12.2012, 13:17

FloTU

Grenzwerte im Mehrdimensionalen

Hallo ich habe eine frage bezüglich dem genannten Thema:

Erste frage ist:

Ich soll folgenden Grenzwert bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray*}$

Es steht f(0,0) =0 jetzt bin ich nur etwas verwirrt, wie ich an dieser stelle weiter vorgehe.

Wenn ich den Grenzwert einzeln bilde dass heißt einmal y = 0 und ein mal x = 0 setze und dann x und y den limes bilde dann bekomme ich für die Grenzwerte x gegen 0 = 1 und y gegen 0 = -1 heraus.
Unser Tutor hatte damals gesagt man müsse jetzt nur noch die Grenzwerte addieren also 1+(-1)=0 und das wäre dann der Wert für den Grenzwert.

Jetzt habe ich aber die Folge $\begin{eqnarray*} x_{n}=\left(\frac{1}{n^{2}},\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ benutzt und damit den Grenzwert zur bekannten stelle berechnet und als Ergebnis -1 heraus bekommen, was ja ungleich 0 ist. Somit ist ja die Funktion unstetig und jetzt bin ich total verwirrt weil was ist jetzt mein Wert an dieser stelle (0,0) = 0 oder = -1.

16.12.2012, 14:15

Cel

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RE: Grenzwerte im Mehrdimensionalen
Hallo!

Zitat:

Original von FloTU
Unser Tutor hatte damals gesagt man müsse jetzt nur noch die Grenzwerte addieren also 1+(-1)=0 und das wäre dann der Wert für den Grenzwert.

Addieren? Nein, bitte nicht. Wüsste auch nicht, wie er das begründen möchte ... Du zeigst damit schon, dass die Funktion unstetig ist. Alle (!) Grenzwerte in die Null müssen den gleichen Grenzwert erzeugen. Tun sie offenbar nicht. Deine Folge zeigt das auch noch einmal.

Der Funktionswert ist Null. Ist so definiert.

16.12.2012, 14:28

FloTU

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Also existiert der Grenzwert nicht aber die Funktion ist bei f(0,0)=0 so definiert. D.h. für den obigen Grenzwert gibt es keinen wert.

16.12.2012, 14:37

Cel

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Exakt.

16.12.2012, 14:55

FloTU

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Danke.

Jetzt noch eine frage die etwas schwieriger ist.
Zu zeigen das eine Funktion nicht stetig ist in einem Punkt ist ja recht einfach.
Aber zu zeigen das eine Funktion im $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ stetig in einem Punkt ist ist schon schwierig.
Ich muss ja zeigen das jeder mögliche "Weg" Grenzwert existiert.

Eine Möglichkeit besteht ja darin mit Hilfe von Folgen abzuschätzen oder mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon-\delta-\text{Kriterium} \end{eqnarray*}$ .

bezüglich der Folgen ist mir nicht ganz klar wie ich dort die Stetigkeit allgemein zeigen kann.

anscheinend kann man ausnutzen das $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \widetilde{x} \end{eqnarray*}$ konvergiert und somit auch ein für ein beliebiges k.

Somit entsteht eine Abschätzung die ich aber nicht wirklich in der Notation nachvollziehen kann:

$\begin{eqnarray*} \left|x_{k}^{\left(n\right)}-\widetilde{x}_{k}\right|=\sqrt{\left(x_{k}^{\left(n\right)}-\widetilde{x}_{k}\right)^{2}}\leq\sqrt{\sum_{j=1}^{N}\left(x_{j}^{\left(n\right)}-\widetilde{x}_{k}\right)^{2}}=||x_{n}-\widetilde{x}|| \end{eqnarray*}$

vielleicht kann sie mir hier jemand erklären.

19.12.2012, 17:49

Cel

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Stimmt die Notation da? Mir kommt das mit den Summen komisch vor.

Das erste = ist Definition, immerhin stehen links reelle Zahlen. Das <= resultiert offenbar daraus, dass man links nur einen Differenzeneintrag der Vektoren addiert, rechts alle. Und das rechte = ist auch wieder Definition.

Es scheint der Beweis zu sein, dass wenn die Folge konvergiert, die Komponentenfolgen konvergieren müssen. Liege ich da richtig?

20.12.2012, 10:41

FloTU

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Richtig das soll es eigentlich bedeuten. Also ich nehme eine beliebige folge an die gegen den wert konvergiert. Wenn die Norm gegen null geht dann existiert der Grenzwert allgemein. Soweit denke ich einmal sollte es sein.

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