Unbeschränkte Folge mit: (i) konvergenter Teilfolge; (ii) genau drei Häufungspunkten

16.12.2012, 17:41	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbeschränkte Folge mit: (i) konvergenter Teilfolge; (ii) genau drei Häufungspunkten Meine Frage: Ich habe eine Aufgabe, bei der ich: (i) eine unbeschränkte Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ angeben soll, die eine konvergente Teilfolge besitzt, und (ii) ebenfalls eine unbeschränkte Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nennen soll, die genau drei Häufungspunkte hat. Meine Ideen: (i) Jede Folge besitzt doch eine konvergente Teilfolge, oder? Also kann ich eine beliebige unbeschränkte Folge angeben? (ii) (2,3,3,3,2,1,1,1,2,3,5,7,5,5,5,6), wäre das ein Beispiel?
16.12.2012, 17:59	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
zu ii) Wie wär's mit 1,0,-1,2,1,0,-1,3,1,0,-1,4, ... ?
16.12.2012, 18:27	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke erstmal, aber zu 1. habe ich noch weniger Ahnung, was ich schreiben soll... Wäre wirklich dankbar über ein paar Tipps
16.12.2012, 18:31	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der (i) musst du umdenken. Nicht jede Folge besitzt eine konvergente Teilfolge, sondern nur jede beschränkte Folge! (besser: nur bei beschränkten Folgen ist dies garantiert) Aber man kann sich auch hier ganz einfach eine Folge konstruieren. Versuch es mal. Gruß Shipwater
16.12.2012, 18:52	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
(-1)^n * n^3? sorry, wenn das blödsinn ist...
16.12.2012, 19:02	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist mit der konvergenten Teilfolge? Du kannst die Folge aber auch einfach so wie Raven das schon vorgemacht hat, konstruieren. Wähle als jedes zweite Folgenglied eine konstante Zahl (dann hast du schonmal eine konvergente Teilfolge) und fülle die Lücken so dass du Unbeschränktheit bekommst. Gruß Shipwater
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16.12.2012, 19:19	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
zur schreibweise: ist es korrekt zu schreiben a_n := (.........)? da habe ich dann ja gar kein n....
16.12.2012, 19:23	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
und wieso jedes zweite folgeglied? dann hätte ich doch z.b. (1,2,3,2,0,2,-1,2....), aber das hat doch keine konvergente teilfolge
16.12.2012, 19:42	Navy Seal	Auf diesen Beitrag antworten »
Vllt wird das hiermit klarer: $\begin{eqnarray} a_k=\begin{cases} k & k=3n+1 \\ 0 & k=3n+2\\ -k & k=3n+3 \end{cases} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \cup \left\{0 \right\} \end{eqnarray}$
16.12.2012, 19:45	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, danke!
16.12.2012, 21:05	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte jetzt konkret einfach an 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,... Gruß Shipwater
16.12.2012, 21:27	Navy Seal	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folge ist doch aber nach unten beschränkt
16.12.2012, 21:28	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt, allerdings ist sie nicht nach oben beschränkt und damit insgesamt auch schon unbeschränkt. Gruß Shipwater
16.12.2012, 21:37	Navy Seal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte, die Folge müsse in "beiden" Richtungen divergieren, Aufjeden ist sie der Aufgabe gerecht.
16.12.2012, 21:41	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar ist deine Folge ok, ich wollte nur das (für mich) einfachste Beispiel noch anbringen. Gruß Shipwater

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