lim e^n(1-e^(1/n))

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98765_ Auf diesen Beitrag antworten »
lim e^n(1-e^(1/n))
Meine Frage:
Hallo,

hat jemand eine idee, wie ich zeigen kann, dass lim e^n(1-e^(1/n)) ungleich null ist? (lim ist gleich minus unendlich).
wir sind gerade erst bei stetigkeit angelangt.

ich danke für jeden hinweis smile

Meine Ideen:
es reicht mir erstmal nur zu wissen, dass der grenzwert ungleich null ist. also dann ab nen index die folge z.B. kleiner 1 ist für alle n?IN.
mit der reihendarstellung komm ich momentan nicht weiter.
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lim e^n(1-e^(1/n))
Anhand der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ist folgende Abschätzung leicht einzusehen:



Damit sollte der Nachweis der Divergenz dann nicht mehr schwer fallen.
98765_ Auf diesen Beitrag antworten »

danke, klar, abgeschätzt durch die geometrische reihe. dann ist das ganze nun kleiner gleich ne zahl, die echt kleiner ist als null für alle n größer gleich 2. also nicht gegen null konvergent. das hat mir schon gereicht. aber nur mal so aus interesse: wie kommt man dann drauf, dass die folge bestimmt gegen minus unendlich divergiert?
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig, man ist hier wohl besser beraten das Ganze betragsmäßig zu betrachten und dann mit



nach unten abzuschätzen.
98765_ Auf diesen Beitrag antworten »

danke smile

aber meinst du nicht

?
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, ich meinte tatsächlich



Daraus folgt doch




Oder Du betrachtes es eben betragsmäßig

 
 
98765_ Auf diesen Beitrag antworten »

das ist wohl beim formatieren, etwas schief gelaufen ^^

und wie kommst du zu dieser abschätzung?
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach die beiden ersten Glieder der Reihenentwicklung behalten und den Rest wegwerfen:

98765_ Auf diesen Beitrag antworten »

achja, natürlich -.- Big Laugh

dann ist: e^n(1-e^(1/n) <= -(e^n)/n, was ja gegen minus unendlich divergiert
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