Stetigkeit - Epsilon Delta Definition

17.12.2012, 14:59

samsonian

Stetigkeit - Epsilon Delta Definition

Hallo,

ich verstehe bisher nicht, wie das Epsilon-Delta Kriterium die Stetigkeit sichert, bzw. wie dass in der Defintion enthalten ist. Im Forum hat schon mal jemand anschaulich erklärt:

"Wenn jemand ein epsilon > 0 vorgibt, dann findet man ein delta > 0 (das irgendwie von epsilon abhängt), so dass für alle x im delta-Intervall um x0 die Funktionswerte f(x) sich im epsilon-Intervall um f(x0) befinden. "

Was passiert wenn sich in der Epsilon-Umgebung ein Loch befindet? Wie wird dadurch die formale Defintion verletzt?

17.12.2012, 15:11

samsonian

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RE: Stetigkeit - Epsilon Delta Definition
Um noch genauer auszuführen, was ich meine, die Defintion ist ja, dass für 'x minus x0 (im Betrag) kleiner Delta folgt, dass f(x) minus f(x0) (im Betrag) kleiner Epsilon ist. Was geht schief, wenn das x nicht auf ein f(x) in Epsilon abgebildet wird? Wenn es dann Null ist steht ja nur f(x0) da und das kann ja unter Umständen kleiner Epsilon sein.

17.12.2012, 15:34

klarsoweit

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RE: Stetigkeit - Epsilon Delta Definition

Zitat:

Original von samsonian
Was geht schief, wenn das x nicht auf ein f(x) in Epsilon abgebildet wird? Wenn es dann Null ist steht ja nur f(x0) da und das kann ja unter Umständen kleiner Epsilon sein.

Wie muß man diese beiden Sätze verstehen? verwirrt

(Soll sagen: ich verstehe nicht, was du da sagen willst.)

Jedes x, das im Definitionsbereich liegt und innerhalb der delta-Umgebung um x_0 liegt, wird auf ein f(x) abgebildet. Dieses f(x) könnte dann auch Null sein. Warum auch nicht? Was stört das? Die Frage ist doch nur, ob der Abstand von f(x) zu f(x_0) kleiner epsilon ist.

17.12.2012, 15:59

samsonian

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RE: Stetigkeit - Epsilon Delta Definition
Nein, dass mit der Null war missverständlich. Ich meine den Fall, dass da eine Lücke im Graph ist, also unstetig. Dann gibt es da wohl kein x, dass auf f(x) abgebildet word oder es ist nicht in Epsilon. Wenn dass der Fall ist, wie geht dann der Beweis kaputt?

17.12.2012, 23:30

RavenOnJ

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Dann gibt es aber unter Umständen ein kleineres $\begin{align*} \delta \end{align*}$ , für das die $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung kein solches Loch hat. Es geht darum, nachzuweisen, dass es zu jedem $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ ein solches $\begin{align*} \delta \end{align*}$ gibt, so dass für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ innerhalb der $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ die Norm der Differenz $\begin{align*} |f(x) -f(x_0)| < \epsilon \end{align*}$ ist. Wenn jede $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ mit beliebig kleinem $\begin{align*} \delta \end{align*}$ ein derartiges Loch hat, dann ist die Funktion nicht stetig bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ .

Ein schönes Beispiel ist die Funktion $\begin{align*} f(x) = \sin(1/x), x\ne 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} f(0) =0 \end{align*}$ . Diese ist an der Stelle $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ unstetig, weil man beispielsweise zu $\begin{align*} \epsilon = 1/2 \end{align*}$ in jeder $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ein solches Loch findet, genauer gesagt, sogar unendlich viele.

18.12.2012, 09:39

klarsoweit

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RE: Stetigkeit - Epsilon Delta Definition
Irgendwie finde ich die Wahl der Begriffe etwas merkwürdig: eine delta-Umgebung mit Loch, was soll das sein?

Kommen wir zu:

Zitat:

Original von samsonian
Ich meine den Fall, dass da eine Lücke im Graph ist, also unstetig. Dann gibt es da wohl kein x, dass auf f(x) abgebildet word oder es ist nicht in Epsilon. Wenn dass der Fall ist, wie geht dann der Beweis kaputt?

Wie schon gesagt: es wird immer der Definitionsbereich bzw. mit $\begin{eqnarray*} |x - x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge des Definitionsbereichs betrachtet. Es wird also immer jedes x aus dem Definitionsbereich auf ein f(x) abgebildet. Da gibt es keine Ausnahme.

Was meinst du nun mit "Lücke im Graph"? Eine Definitionslücke? Dort erübrigt sich per se das Thema Stetigkeit. Eine Sprungstelle? Dort findest du ein epsilon > 0, so daß du für alle Delta-Umgebungen um x_0 immer ein x findest, so daß $\begin{eqnarray*} |x - x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ ist, aber $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

18.12.2012, 12:53

RavenOnJ

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@klarsoweit

Ich habe ja auch den Begriff "Loch" gebraucht, aber nur, weil er anschaulich ist. In meinem Sinne gibt es dort "Löcher" in einer $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , wo die Ungleichung $\begin{align*} |f(x)-f(x_0)|\ge \epsilon \end{align*}$ erfüllt ist. An einer Unstetigkeitsstelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ hat jede $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ mindestens ein solches "Loch" und damit sogar unendlich viele. Allerdings ist mein Begriff eines "Loches" wohl ein anderer als der des Threaderstellers.

18.12.2012, 13:20

klarsoweit

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Also für Unstetigkeit muß ja folgendes gelten:

Es gibt ein epsilon > 0, so daß für jede delta-Umgebung um x_0 ein x existiert mit $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| \ge \epsilon \end{eqnarray*}$ . Die Bezeichnung "Loch" ist mir in diesem Zusammenhang allerdings noch nicht begegnet.

18.12.2012, 13:38

RavenOnJ

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Nur zur Veranschaulichung. Du darfst es auch gerne anders bezeichnen, wenn es der Sache dient. Aber du wirst zugeben, dass an einer Unstetigkeitsstelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ die Menge $\begin{align*} \{x \in \mathbb{R}|\small \text{ mit }|x-x_0| < \delta \land |f(x)-f(x_0)| <\epsilon\}\subset U_\delta(x_0) \end{align*}$ "Löcher" hat, u.U. ganze Intervalle $\begin{align*} \subset U_\delta(x_0) \end{align*}$ , die nicht zu der Menge gehören.

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