Widerspruch Beweis Halbwinkelfunktion

17.12.2012, 17:08

setjd

Widerspruch Beweis Halbwinkelfunktion

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet, dass man zeigen soll, dass die folgende Formel fuer trigonometrische Funktionen für alle x,y ? R

$\begin{eqnarray*} \sin ^2(\frac{x}{2}) = \frac{1-\cos(x)}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun habe ich versucht x durch 2y zu substituieren und wollte später resubstituieren - dabei würde aber eine eindeutige lösung für y bzw x raus kommen... also wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \sin ^2(\frac{2y}{2}) = \frac{1-\cos(2y)}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin ^2(y) = \frac{1-\cos(y+y)}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin ^2(y) = \frac{1-\cos ^2(y)- \sin ^2(y)}{2} \end{eqnarray*}$ (Additionstheorem
$\begin{eqnarray*} \sin ^2(y) = \frac{\cos ^2(y)+ \sin ^2(y)-\cos ^2(y)- \sin ^2(y)}{2}<br /> \end{eqnarray*}$ (geometrischer Pythagoras)
$\begin{eqnarray*} \sin ^2(y) = 0 \end{eqnarray*}$
was nur die Lösungen $\begin{eqnarray*} y=\pi \end{eqnarray*}$ bzw nach Resubstitution $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ausspucken würde. Das würde aber der Aussage wiedersprechen, dass die Formel für ALLE x,y ? R gilt... ich vermute, dass ich den geometrischen pythagoras nicht so anwenden kann, wie ich ihn angewendet habe... bin aber grad ein bisschen am verzweifeln, weil ich schon eine ganze Weile gebraucht hab um überhaupt so weit zu kommen - ich hoffe ihr könnt mir helfen.

mfg setjd

PS: Kann gut sein, dass das Thema eher in den Bereich Geometrie gehört ... da ich das Thema aber in der Analysis 1 habe und es vor allem nicht geometrisch beweisen soll dachte ich, dass ich es lieber hier rein stelle Augenzwinkern

PPS: danke schonmal für tipps

17.12.2012, 17:38

Pik 7

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Du hast ganz einfach einen Vorzeichenfehler gemacht und zwar in der dritten Zeile (dort wo "Additionstheorem" steht, lautet der Zähler

1 - cos²(y) + sin²(y)

Und damit erhältst du

sin²(y) = 1 - cos²(y)

Und das wusstest du wahrscheinlich schon. Das Ganze führt also so nicht zum Ziel.

Geh vom zweiten Additionstheorem aus

cos(a) - cos(b) = ...

und setze a=0 und b=x

Das ist m.E. der eleganteste Beweis.

17.12.2012, 17:46

setjd

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Zitat:

Original von Pik 7

Geh vom zweiten Additionstheorem aus

cos(a) - cos(b) = ...

und setze a=0 und b=x

Das ist m.E. der eleganteste Beweis.

hallo pik 7,

danke schonmal für deine Antwort! Allerdings kann ich mit dem "2. Additionstheorem" nichts anfangen unglücklich

Winkelfunktionen sind ja nicht meine Stärke... Ich kenne nur die Additionstheoreme für sin(a+-b) und cos(a+-b) ... leider gibt wikipedia da auch nicht viel mehr her. Könntest du mir vielleicht sagen, wie das 2. Additionstheorem komplett lautet?

edit: sorry - ich hab nochmal genauer geschaut ... habs jetzt gefunden unter trigonometrischen identitäten Augenzwinkern

ich mach mich mal da dran... mich wunderts nur, da wir in der vorlesung/im tutorium noch nicht mit diesen identitäten gearbeitet haben - eigentlich müsste man die dann doch theoretisch herleiten?

17.12.2012, 17:53

Pik 7

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Jau, wenn ihr das nicht hattet, dann solltest du die Formel herleiten. Der Beweis ist aber nicht schwer.

17.12.2012, 18:40

setjd

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danke für deine hilfe pik 7 - habs hinbekommen smile

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