Erwartungswert einer Funktion

17.12.2012, 18:36

annnee

Erwartungswert einer Funktion

Hallo!

Ich versuche einen Erwartungswert zu ermitteln und habe damit große Probleme.

Die Funktion deren Erwartungswert zu berechnen ist lautet: $\begin{eqnarray*} f = k-l-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ sind auf $\begin{eqnarray*} [0;1] \end{eqnarray*}$ gleichverteilt. Über die Verteilung von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist nichts bekannt.

Ich suche den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} l<2*b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k>2*b \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz

$\begin{eqnarray*} \int_B^1 \! \int_0^B \! k-l-b \, dl \, dk \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} B=2*b \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis erhalte ich $\begin{eqnarray*} 4*b^3-4*b^2+b \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis ist aber falsch. Ich meine richtig integriert zu haben, daher die Frage: Was stimmt an meinem Ansatz zur Berechnung des Erwartungswertes nicht?

17.12.2012, 19:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von annnee
Über die Verteilung von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist nichts bekannt.

Ich suche den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} l<2*b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k>2*b \end{eqnarray*}$ .

Ist das die originale Aufgabenstellung? Wort für Wort?

Die Informationen (oder besser gesagt: fehlenden Informationen) über $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind mysteriös: Ist das gar eine Konstante, d.h. eine nichtzufällige Größe? verwirrt

17.12.2012, 19:17

annnee

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Mmh, deine Frage hat mich jetzt auch gerade zum Grübeln gebracht.

b liegt zwischen 0 und 0,5. Und man kann sagen, dass b zum Zeitpunkt des "Zufallexperimentes" schon feststeht und damit dann wohl eine Konstante wäre. Also: Ja smile

edit: Meine Aussage über eine fehlende Verteilung von b ist damit also irreführend.

17.12.2012, 19:32

HAL 9000

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RE: Erwartungswert einer Funktion
Ok, hatte ich mir fast gedacht. Dann wäre noch anzumerken, dass hier

Zitat:

Original von annnee
Ich suche den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} l<2*b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k>2*b \end{eqnarray*}$ .

wohl die bedingte Erwartung

$\begin{eqnarray*} E\left( k-l-b \bigm| l<2b,\, k>2b \right) \end{eqnarray*}$

gesucht ist. Die hast du aber nicht berechnet, sondern sozusagen nur den Zähler des dazu nötigen Bruches...

17.12.2012, 19:43

annnee

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Vielen, vielen Dank! Freude

Jetzt kommte ich auf das "gewünschte" Ergebnis. Gibt es eine Möglichkeit der Umformung, damit der Ausdruck komplett als Integral und nicht als Bruch dargestellt werden kann? Oder ist die Darstellung als Bruch üblich?

17.12.2012, 19:48

HAL 9000

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Ich würde es mal als "üblich" bezeichnen - zumindest fällt mir nix ein, was die Sache substanziell einfacher macht.

P.S.: Der Vollständigkeit wollen wir noch anmerken, dass das Gesamtergebnis

$\begin{eqnarray*} E\left( k-l-b \bigm| l<2b,\, k>2b \right) = \frac{1}{2}-b \end{eqnarray*}$

ist.

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