Satz von Rolle beweisen |
| 17.12.2012, 19:00 | jin02 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Satz von Rolle beweisen Jemand eine Idee, wie ich hier vorgehen kann? |
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| 17.12.2012, 20:25 | jin02 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da es eine C1 Funktion sein soll ist sie auf jeden Fall diffbar und damit auch stetig. Aber nun weiß ich nicht wie ich den Monotoniesatz und den den Zwischenwertsatz da einbringen kann für den Zwischenwertsatz brauche ich ja auch noch ein kompaktes Intervall... |
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| 18.12.2012, 16:56 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Schreibe doch erst einmal alle Aussagen der drei Sätze auf. Dann siehst du vielleicht, wie du vorgehen kannst. |
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| 19.12.2012, 15:39 | dr.mabuse71 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wir betrachten f aus C1 im Intervall [a,b] auf (a,b) diffbar und f(a) = f(b). Der Trivialfall wäre eine konstante Funktion. Als Folgerung aus dem Monotoniesatz gilt, dass für alle Elemente aus dem Intervall I=(a,b) gilt: f´(x)=0. Also gilt hier der Satz von Rolle. Es bleibt der Fall, dass f(x) keine konstante Funktion ist, also einen z € I, so dass f(z) <> 0 ist. Kann man hier schon das z so wählen, dass es eine Extremstelle ist ? Das wäre schon etwas zu einfach ! Wenn bei z nicht unbedingt eine Extremstelle ist, können wir aus dem ZWS und der Stetigkeit von f sicherlich folgern, dass es ein k gibt, dass zwischen f(z) und f(a) oder zwischen f(z) und f(b) liegt. Damit liegt das Urbild von k zwischen a und z oder z und b. Mit dem "oder" deuten wir an, dass es rechts und links von z mindestens ein solches k gibt (k1,k2). Damit ist aber z.B. zwischen a und z f nicht unbedingt streng monoton (wachsend). Aber es gibt auf jeden Fall ein Intervall innerhalb von a und z, in dem es monoton wachsend ist. Hier bin ich mit meinem Latein am Ende ?! Grundsätzlich habe ich das Gefühl, dass ich die Monotonie einsetze, um zu zeigen, dass wenn wir uns von links einem Punkt x nähern, gilt: f´(x)>=0 ist und von rechts kommend davon f´(x)<=0 ist. Mehr hab ich nich :-( Viel Dank für eure Hilfe im Voraus ! LG |
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| 19.12.2012, 18:46 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gerne nochmal:
Überlege dir also, welche Voraussetzungen gestellt werden sollen und welche Aussagen man benutzen darf, um was zu zeigen. |
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| 19.12.2012, 22:50 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gern nochmal: Wir kommen da nicht weiter - und die drei Aussagen stehen auf dem Papier und zum Teil hier im Beitrag. Das ist selbstverständlich, dass wir uns die Sätze aufschreiben - aber wir sehen den Weg leider nicht. Es wäre sehr nett, wenn wir eine Hilfestellung bekommen könnten, der über das hinschreiben der Sätze geht. |
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| 19.12.2012, 22:59 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nirgendwo hier steht auch nur einer der drei Sätze. Naja, du möchtest zeigen, dass die Ableitung eine Nullstelle besitzt. Welchen Satz könnte man dazu vielleicht auf die Ableitung anwenden? (du hast zwei zur Auswahl) |
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| 19.12.2012, 23:18 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Monotoniesatz: Es seien I ⊆ R ein Intervall und f : I→ R differenzierbar. I) Gilt f′ 
x) > 0 fur alle x ∈ I , so ist f streng monoton wachsend.II) Gilt f′
x) ≥ 0 fur alle x ∈ I , so ist f monoton wachsend.____ Zwischenwertsatz: Es seien a < b ∈ R, f : [a, b] I→ R stetig und f(a) < c < f(b) . Dann gibt es ¾ ∈ (a, b) mit f(¾) = c . Der Zwischenwertsatz gilt auch im Fall f(a) > c > f(b) _____ mit den o.a. Sätzen ist Satz von Rolle zu zeigen - also: Es sei f ∈ C[a, b] auf (a, b) differenzierbar, und es gelte f(a) = f(b) . Dann gibt es ¾ ∈ (a, b) mit f′
¾) = 0 ._____ Ich würde ja - wie oben vom Kollegen beschreiben - ggf. mit einem Vorzeichenwechsel der Steigung also dem Monotoniesatz denken. (s.o) andererseits gehen die Gedanken auch wie oben beschreiben. Das das wohl nicht korrekt ist, scheint bei der Antwort offenkundig - aber es wäre nett, wenn wir ggf. auch einen Kommentar bekämen, was dasran so dumm ist... ;-) Danke für die Hilfe! |
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| 19.12.2012, 23:26 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich weiß da gar nicht genau, worauf ihr überhaupt hinaus wollt. Ich sehe jedenfalls nicht, wie man damit den Satz von Rolle zeigen sollte. Um zu zeigen, dass die Ableitung eine Nullstelle hat, wollt ihr auf für ein . Welcher der beiden Sätze liefert eine ähnliche Aussage? |
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| 19.12.2012, 23:28 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zum Anfang der Seite springen Monotoniesatz:Es seien I Teilmenge R ein Intervall und f : I -> R differenzierbar. a) Gilt f'(x) > 0 für alle x el. I , so ist f streng monoton wachsend. b) Gilt f'(x) >= 0 für alle x el. I , so ist f monoton wachsend. ____ Zwischenwertsatz: Es seien a < b el. R, f : [a,b] I-> R stetig und f(a) < c < f(b) . Dann gibt es k el. (a, b) mit f(k) = c _____ mit den o.a. Sätzen ist Satz von Rolle zu zeigen - also: Es sei f el. C[a,b] auf (a,b) differenzierbar, und es gelte f(a) = f(b) . Dann gibt es k el. (a, b) mit f'(k) = 0 . Sorry - mein Fehler beim Formatieren |
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| 19.12.2012, 23:35 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mmhh - sorry - ich seh es noch nicht. Mir ist bewußt, dass ich den f'(x)=0 zeigen will! Einerseits wäre es halt wie gesagt denkbar, durch einen Vorzeichenwechsel bei f' auf eine Nullstelle zu kommen. Wäre es sonst mit dem zwischenwertsatz direkt zu argumentieren. Ggf. könnte man heir vielleicht den Zwischenwertsatz irgendwie auf die Ableitung selbst anweden... und irgendwie versuchen einen bestimmten Zwischenwert - also auf genau die Nullstelle zu kommen... :-( |
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| 19.12.2012, 23:39 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist doch genau der Zwischenwertsatz. Wenn positive und negative Werte annimmt, dann auch die Null. Ist die Folgerung klar? Dass es ein mit gibt, wenn es und mit gibt? |
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| 19.12.2012, 23:47 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du meintest: Dass es ein gibt, für das gilt: , wenn es und mit (bzw. umgekehrt) gibt? Das x_0 müßte dann doch gem. Zwischenwertsatz auch eben zwischen (x_1) und (x_2) liegen. Kann ich so argumentieren: auf Grund des Monotoniesatzes kann ich dann auch argumentieren - dass es im Nichttrivielafall einer nicht konstanten Funktion eben der Fall wie gerade ne Zeile drüber existieren muss...? Brauche ich auch spezielle x1 und x2 oder kann ich einfach die allgemeinen Grenzen des Intevalls nehmen?!? |
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| 19.12.2012, 23:52 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, letzteres kann man auch als abkürzen (das könnt ihr euch ja mal kurz überlegen).
Insbesondere liefert der Zwischenwertsatz die Existenz eines solchen .
Da sehe ich nicht, was du überhaupt aussagen möchtest... Verb und Subjekt passen da nicht zusammen.
Nein, du brauchst keine konkreten Werte. Unter der Annahme, dass solche Werte existieren, gibt es eine Nullstelle der Ableitung. Jetzt musst du den Fall untersuchen, in dem keine zwei Stellen existieren, an denen die Ableitung ein unterschiedliches Vorzeichen hat. Was muss dann gelten? |
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| 20.12.2012, 00:05 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zu dem Fall mit dem x0 für das dann die Ableitung an dieser Stelle = 0 ist: Das ist doch der Nichttrivialfall (trivialfall = konstante Funktion) - also wenn wir eine Funktion betrachten - die die Vorr. des Satz von Rolle entspricht - also für die gilt f(a)=f(b). Meine Frage war, ob ich einfach aus der Vorraussetzung heraus argumentieren kann - dass gem. ZWS eben ein x0 mit f'(x0)=0 existiert. Wie kann man das suaber formulieren?!? Der Monotoniesatz ist hier bei dem Nichttrivialfall dann gar nicht zu berücksichtigen?!? Oder übersehe ich was...? Der Trivialfall wäre demnach der 2te Fall, der noch zu beachten wäre - denn der ist der einzige Fall, in dem halt die Ableitung an keiner Stelle im Intervall = 0 ist (was aus dem Monotoniesatz quasi folgt). Herzlichen Dank für die Hilfe! |
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| 20.12.2012, 00:09 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Voraussetzung spielt tatsächlich erst ganz am Ende eine Rolle.
Das ist doch hier überhaupt zu zeigen. Der Zwischenwertsatz liefert dir das nur, wenn du weißt, dass die Ableitung verschiedene Vorzeichen annimmt. Zu untersuchen bleibt, was wäre, wenn es keine zwei Stellen mir unterschiedlichem Vorzeichen der Ableitung gäbe.
In dem Absatz erkenne ich leider keinen Sinn... |
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| 20.12.2012, 00:26 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1) um deine Formulierung fortzufahren: es bleibt also zu zeigen, was wäre, wenn die Ableitung gar keinen vorzeichenwechsel hat: Dann wäre die Funktion in dem Intervall doch monton Fallend/WACHSEND - und damit kann f(a) niemals f(b) werden... 2)Bisher dachte ich noch, ich muss hier 2 Fälle betrachten -w eil ich die Vorraussetzung f(a)=f(b) vorausgesetzt habe! Dann wäre halt der eine Fall eine konstante, der dandere eine nichtkonstante Funktion. Wenn ich aber all unsere Kommunikation zusammen betrachte - scheint das nicht sinnvolll zu sein. Es ist mehr Ergebnis der Betrachtung! 3)Neben der gerade erörteten Punkte stelle ich mir die Frage, wie "genau" ich wirklich beginne? beginne ich mit dem ZWS und einem frei gewählten f(x1) und f(x2) ... ?!? |
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| 20.12.2012, 00:28 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da fehlt nur das Wörtchen "streng". Und ggf. eine kurze Begründung, wieso dann .
Beginne mit der Betrachtung der Ableitung und unterscheide zwei Fälle. Im ersten Fall kannst du die Aussage schnell zeigen und dann zeigst du, dass der zweite Fall nicht eintreten kann. |
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| 20.12.2012, 00:39 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich mag ja nicht immer richtig sehen - worauf du schon gekommen bist und du hinaus willst - aber es ist auch schwierig - wenn du nicht zu allen Argumenten bzw. Fragen Stellung beziehst... Ist nicht böse gemeint. Ich mache es dir bestimmt nicht einfach. Aber offene Punkte etc. werden mein Bild auch nicht auf dem schnellsten Weg aufhellen ;-) Ich habe doch auch zu 3) schon etwas gesagt: Wenn die Funktion nicht in der Ableitung einen vorzeichenwechsel hat - ist sie eben streng monoton. Sorry - habe Streng vergessen! Aber trotzdem ist die Frage: sind nun die zwei Fälle: I) kein Vorzeichenwechsel = streng monoton => dann kann aber f(a) nicht gleich f(b) sein. II) Vorzeichenwechsel im Intervall: dann gilt ZWS => es gibt ein x0 mit f(x0)=0. Du darfst gern sagen - ist alles quatsch! :-) Außerdem fragte ich bereits nach dem Montoniesatz an verschiedenen Stellen - hier auch wieder. Argumeintiere ich mit dem in I) oder auch in II)?!? Sorry - wenn mene Versuche hier nicht so gut sind! |
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| 20.12.2012, 00:45 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Auf welche Fragen bin ich denn nicht eingegangen? Manche Details kann ich aber nunmal nicht einfach verraten... Die beiden Fälle stimmen so. Aber in welchem der Monotoniesatz verwendet wird, sollte eigentlich klar sein... Schreibe den Beweis doch schonmal sauber auf, dann dürfte schon deutlich werden, wo was benutzt wird. Ansonsten frag nochmal nach. |
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| 20.12.2012, 00:55 | Charlotte91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke. Das mache ich dann mal morgen lieber in Ruhe ! Ich verstehe, dass du dich an die Regeln hier halten willst/mußt. Aber es ist doch sehr nebulös - und damit meine ich nicht, dass hier eine Lösung von Dirtten angzugeben wäre! Dann guts Nächtle! |
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