Lineare Unabhängigkeit (in Abhängigkeit von a, b)

17.12.2012, 19:13	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit (in Abhängigkeit von a, b) Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Sind folgende Vekotren linear unabhängig? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_1\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & 7 & a & 0 \\ 3 & 1 & b & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \end{matrix} \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & 7 & a & 0 \\ 0 & 20 & 3a-b & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II'=I\cdot 3-II \end{matrix} \end{eqnarray}$ Und jetzt? Ich müsste ja eigentlich $\begin{eqnarray} \lambda_3=z \end{eqnarray}$ setzen, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen. Das würde doch bedeuten, dass sie linear abhängig sind. Kann das so sein? So wäre das Ergebnis aber von a und b unabhängig... Danke!
17.12.2012, 19:32	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (in Abhängigkeit von a, b) In einem zweidimensionalen Vektorraum sind 3 Vektoren per definitionem linear abhängig, insofern ist die Frage ziemlich trivial. Ist das so die Original-Aufgabenstellung?
17.12.2012, 19:37	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja bis auf meine 2 Rechtschreibfehler Und jetzt?
17.12.2012, 19:38	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Was jetzt? Die Frage habe ich in meinem vorherigen Beitrag doch schon beantwortet. Was willst du noch?
17.12.2012, 19:41	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, haben das nur nirgends definiert, aber ich bin ja eigentlich auf das selbe Ergebnis gekommen, oder? Danke!
17.12.2012, 19:42	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Das folgt direkt aus der Definition einer Basis bzw. der Dimension eines Vektorraumes. Deine Lösung stimmt aber auch.
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17.12.2012, 19:45	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke dir!

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