Basis eines Unterraums

17.12.2012, 19:35

baba2k

Basis eines Unterraums

Hallo zusammen,

ich bin mir grad garnicht so sicher was ich bei der Aufgabe machen soll.
In der Vorlesung haben wir das nur mit Vektoren gemacht.

Aufgabe:
Man gebe eine Basis der folgenden Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb C^4 \end{eqnarray*}$ an.
$\begin{eqnarray*} G=\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}|~3x-y+2z=0,\quad x,y,z\in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H=\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix}|~2ix-3y-iz+2t=0,\quad x,y,z,t\in \mathbb C \} \end{eqnarray*}$

Definition laut Vorlesung:
Basis $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ = a) linear abhängig, b) $\begin{eqnarray*} V=<a_1,...,a_n> \end{eqnarray*}$
n=dim_K V

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n:
1) Wenn $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind, dann sind sie schon eine Basis.
2) Wenn $\begin{eqnarray*} <a_1,...,a_n>=V \end{eqnarray*}$ , dann sind sie schon eine Basis.

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} G=\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}|~3x-y+2z=0,\quad x,y,z\in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1(3)+\lambda_2(-1)+\lambda_3(2)=0 \Rightarrow 3\lambda_1-\lambda_2+2\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

Irgendwie ergibt das keinen Sinn... Vllt kann mir jemand einen Ansatz geben!

Vielen Dank!

17.12.2012, 19:41

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis eines Unterraums
Du solltest dir erstmal anschauen welche Vektoren überhaupt in den Untervektorräumen liegen...

17.12.2012, 19:44

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, kann ich mir da welche raussuchen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt z.B. in G oder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
usw.

17.12.2012, 19:51

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das, $\begin{eqnarray*} B_G \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von G?

17.12.2012, 21:10

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von baba2k
Heißt das, $\begin{eqnarray*} B_G \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von G?

Sind diese Vektoren linear unabhängig?

17.12.2012, 21:22

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Nee sind sie nicht, also kann es schonmal keine Basis sein.
Aber durch ausprobieren finde ich das doch nicht nicht heraus,
welche Vektoren eine Basis bilden, oder doch?

17.12.2012, 21:31

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Du nimmst dir einen Vektor, der unabhängig zu dem bisherigen Vektor ist, und probierst das aus.

17.12.2012, 21:44

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich brauch doch insgesammt 3 Vektoren für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , oder?

Nehmen wir an ich nehme als Ausgangsverktor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wie bekomme ich denn jetzt einen Vektor der unabhängig dazu ist?

Ich hätte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ vermutet aber die beiden Vekotren sind auch nicht unabhängig.

//EDIT: Ich habe jetzt einen Vektor gefunden der zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist, aber das war Zufall: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.12.2012, 12:40

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von baba2k
Aber ich brauch doch insgesammt 3 Vektoren für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , oder?

Du willst ja keine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ aufstellen, sondern eine von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , d.h. du brauchst maximal 3 Vektoren.

Zitat:

Original von baba2k
//EDIT: Ich habe jetzt einen Vektor gefunden der zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist, aber das war Zufall: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das wären schon zwei Vasisvektoren. Überleg dir mal, ob der Untervektorraum nun Dimension 3 hat, also den ganzen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ aufspannt.

18.12.2012, 12:50

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Dimension würde ich schon 3 sagen, aber nicht den ganzen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ,
da die Gleichung von G ja noch erfüllt werdem muss.

18.12.2012, 12:57

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von baba2k
Dimension würde ich schon 3 sagen, aber nicht den ganzen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Das ist ein Widerspruch in sich.

18.12.2012, 13:08

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich wüstte nicht welche Dimension es dann ist, eventuell Dimension G?

//EDIT: Das ergibt ja auch keinen Sinn, ich würde sagen, dass es 3 Vektoren sien müssen weil G 3 Koordinaten (x,y,z) hat.

18.12.2012, 15:02

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ muss nicht zwangsweise die selbe Dimension wie der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ selbst haben, er hat maximal diese Dimension. Die Begründung mit den 3 Koordinaten ist ziemlich hanebüchen. Der Untervektorraum, der nur aus der Null besteht, hat ja auch drei Koordinaten. Du darfst nicht die Anzahl Koordinaten mit der Dimension gleichsetzen.

Ist dir klar, was ich oben mit dem Widerspruch meinte? Wenn ein UVR die selbe Dim. wie der VR hat, dann ist der UVR gleich dem VR.

Versuch mal, die bereits gefundenen Basisvektoren von G zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , zu ergänzen, und schau, ob dieser Basisvektor auch in G liegt.

18.12.2012, 21:18

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} B_{\mathbb R^3} \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Er liegt auch in G, aber nur durch längeres ausprobieren.
Morgen ist dann aber auch die Übungsstunde und dann wird es vorgerrechnet.
Ich hoffe das es auch ohne Ausprobieren geht.

Trotzdem vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Basis eines Unterraums

Verwandte Themen