Lineare Unabhängigkeit/Hülle und Unterraum

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17.12.2012, 20:14	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit/Hülle und Unterraum Hallo zusammen, ich komme diese Woche mit dem Aufgabenblatt nicht so richtig zu recht, in der Vorlesung haben wir irgendwie nur einfache Aufgaben gerechnet. Die letzte Aufgabe mit der ich mich vor der Übungsstunde noch beschäftigen möchte ist folgende: Aufgabe: a) In einem $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ -Vektorraum V seien n linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a_1},...,\vec{a_n} \end{eqnarray}$ gegeben. Zeigen Sie, dass (n-1) verschiedene Vektoren davon immer linear unabhängig sind. b) Wie üblich bezeichnet man $\begin{eqnarray} <\vec{a_1},...,\vec{a_n}> \end{eqnarray}$ die lineare Hülle der Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a_1},...,\vec{a_n} \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie für $\begin{eqnarray} \vec{a_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{a_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{a_3}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{a_4}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{a_5}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den Untervektorraum $\begin{eqnarray} <\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3}>\cap <\vec{a_4},\vec{a_5}> \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ Ansatz: a) $\begin{eqnarray} \lambda_1=0,....,\lambda_n=0 \Rightarrow \lambda_{(n-1)}=0 \end{eqnarray}$ Das kanns ja aber doch nicht sein...? b) Da weiß ich garnicht so richtig, was ich machen soll. Ich hoffe, mir kann jemand einen Ansatz geben. Vielen Dank!
18.12.2012, 18:00	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit/Hülle und Unterraum Hallo=) hatte mal so eine ähnliche Aufgabe,wie deine Teilaufgabe b) zu a) weiß ich selbst nicht, wie man es macht... b) es sind ja 2 lineare Hüllen gegeben. Um deren Durchschnitt auszurechnen, musst du die einzelne Vektoren als Linearkombinationen darstellen..wie würde das aussehen? diese musst du dann gleichsetzen, weil du ja den Durchschnitt brauchst... dann hast du 5 Vektoren in Abhängigkeit von Parametern gleich Null.. diese Gleichung kann man dann mir der Matrix lösen=)
18.12.2012, 18:03	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Also LK von a1 bis a3 = LK von a4 bis a5 und dann alle auf eine Seite bringen. Und dann mit Gauß ausrechen? Ich versuche es mal, ein moment. Danke!
18.12.2012, 18:15	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
ja,genau =) ich habe jetzt die Lösung nicht parad...aber es funktioniert so=)
18.12.2012, 18:20	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit/Hülle und Unterraum $\begin{eqnarray} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda_4\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda_5 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \lambda_4\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \lambda_5 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccccc\|c} 1 & 1 & 2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III \\ IV \end{matrix} \end{eqnarray}$ So? //EDIT: Aber dann hab ich doch 5 Unbekannte und 4 Gleichungen, d.h. ich müsste eins gleich z setzen und habe unendlich viele Lösungen?
19.12.2012, 21:03	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit/Hülle und Unterraum ich kann da eben nicht so richtig weiter helfen, tut mir Leid... ja,klar kannst du jetzt eine Variable frei wählen, aber ich würde hier versuchen eben diese 4 Gleichungen irgendwie auf Zeilenstufenform zu bringen...dann könntest du vielleicht mehrere Variablen frei wählen...probiere es einfach.. vielleicht kann dir ja noch jemand hier helfen =)
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19.12.2012, 21:13	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Haben es heute in der Übung gemacht, trotzdem Danke! Dein Ansatz war aufjedenfall richtig!!!
19.12.2012, 21:26	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
das freut mich sehr =) das war nämlich eine der wenigen Aufgaben bei denen ich ein Ansatz hatte=) und welche Vektoren waren im Durchschnitt?
19.12.2012, 21:33	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Als ergebnis bekamen wir eine Durchschnittsgerade: $\begin{eqnarray} \vec{v} = \{-\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \| \lambda \in \mathbb R \} \end{eqnarray}$ Wir haben den Gauß gelöst und $\begin{eqnarray} \lambda_3=z \end{eqnarray}$ gesetzt und so alle $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 's errechnet. Dann $\begin{eqnarray} \lambda_4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_5 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \vec{x}=\lambda_4\vec{a_4}+\lambda_5\vec{a_5} \end{eqnarray}$ eingesetzt
19.12.2012, 21:37	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
ok,danke..rechne es später auch selbst mal durch =)als Übung
19.12.2012, 21:40	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, für mich ist heute schluss
19.12.2012, 21:43	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
für mich auch,es war für irgendwann gemeint =)
19.12.2012, 21:45	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, Übung schadet nie, das stimmt Werde in den "Ferien" auch noch ein paar Aufgaben dazu rechnen.

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