Konvergenzradius

17.12.2012, 21:03

zebrahead89

Konvergenzradius

Meine Frage:
[attach]27357[/attach]

Meine Ideen:
Dürfen wir hie die (-1)^n weglasssen?

Edit Equester: Lade deine Bilderl bitte intern hoch! Getan.
Außerdem ein Schubs in die Hochschulmathematik.

Edit 2: Ich hoffe es ist so recht, zebrahead. Sonst nochmals melden Augenzwinkern

17.12.2012, 23:42

Jello Biafra

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von zebrahead89
Meine Frage:
[attach]27357[/attach]

Wo ist die Frage?

Zitat:

Original von zebrahead89
Meine Ideen:
Dürfen wir hie die (-1)^n weglasssen?

Kann sein, kommt drauf an!?!

17.12.2012, 23:48

zebrahead89

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Die ganze Frage:

http://i49.tinypic.com/30mx3bq.jpg

18.12.2012, 09:17

Jello Biafra

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Ja und wo ist jetzt das Problem?
Mit Cauchy-Hadamard oder Quotientenregel kannst Du hier problemlos den Kgz.Rad. berechnen.
Dann setzt Du noch die Randwerte ein und untersuchst jeweils auf Kgz.

18.12.2012, 13:41

RavenOnJ

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Ich vermute aus seiner Frage, dass zebrahead ein Problem damit hat, ob beispielswese $\begin{eqnarray*} S(x) = \sum_{n=0}(-x)^n, x > 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, auch wenn $\begin{eqnarray*} T(x) = \sum_{n=0}x^n, x > 0 \end{eqnarray*}$ divergiert. Das ist ja nicht von vorneherein klar, da die Partialsummen der ersten Reihe immer kleiner sind als die der zweiten:

$\begin{eqnarray*} \forall N > 0, x> 0: S_N(x) := \sum^N_{n=0}(-x)^n < \sum^N_{n=0}x^n =: T_n(x) \end{eqnarray*}$

Man kann jedoch zeigen, dass $\begin{align*} S(x) \end{align*}$ genau dann divergiert, wenn es $\begin{align*} T(x) \end{align*}$ tut. Dazu kann man $\begin{align*} S(x) \end{align*}$ umschreiben als
$\begin{eqnarray*} S(x) =\sum_{n=0}(-x)^n = \sum_{k=0}(x^{2k} - x^{2k+1}) = (1-x) \sum_{k=0}(x^2)^k = (1-x)\frac{1}{1-x^2}= \frac{1}{1+x} , 1> x > 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{align*} x\ge 1 \end{align*}$ darf man die folgende Rechnung nicht machen, da man für die zweite Folgerung divergierende Terme voneinander abziehen würde:

$\begin{eqnarray*} Q(x) := \sum_{k=0}(x^2)^k \Rightarrow x^2 Q(x) = \sum_{k=1}(x^2)^k \Rightarrow (1-x^2)Q(x) = 1\Rightarrow Q(x) = \frac{1}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

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