Kombinatorik Aufgabe mit Bernoulli-Formel lösen

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nuc Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik Aufgabe mit Bernoulli-Formel lösen
Hallo folgendes:
In einer Lieferung von 100 Stangen Zigaretten befinden sich 8 Stangen unverzollter Zigaretten. Bei einer Kontrolle entnimmt die Polizei nacheinander 5 zufällige Stangen.

a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit das die Polizei die unverzollten Stangen findet.

Das kann man ja mit kombinatorik ausrechen:

(92/100) x (91/99) x (90/98) x (89/97) x (88/96)= 65,32%

Gegewahrscheinlichkeit: 34,68%


Nur wie kann ich dasselbe mit der Bernoulli Formel errechnen? Ich habs versucht aber es kamen falsche Ergebnisse:



Wo liegt der Fehler? Ich hab p=0.08 und q=0.92 angenommen.
srolle Auf diesen Beitrag antworten »

lautete der Aufgabentext genau so, wie du ihn hier geschildert hast? Weil "dass die Polizei die unverzollten Stangen findet" ist meiner Meinung nach etwas schammig formuliert.

Ich wäre mir jetzt nicht so sicher, ob nun, so wie du es berechnet hast, nach P("min 1. unverzollte Stange wird gefunden") gefragt ist - ich kann mich aber auch täuschen.

PS: Du kannst hier die Bernoulli-Gleichung nicht verwenden, weil hier keine Binomialverteilung vorliegt, sondern eine hypergeometrische Verteilung.
 
 
nuc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von srolle
lautete der Aufgabentext genau so, wie du ihn hier geschildert hast? Weil "dass die Polizei die unverzollten Stangen findet" ist meiner Meinung nach etwas schammig formuliert.

Ja , hast schon recht im Original heisst es "...dass die Lieferung beschlagnamt wird." (sie wird beschlagnahmt wenn mind. 1 illegalle Stange gefunden wird).

Zitat:
Original von srolle
Ich wäre mir jetzt nicht so sicher, ob nun, so wie du es berechnet hast, nach P("min 1. unverzollte Stange wird gefunden") gefragt ist - ich kann mich aber auch täuschen.

Doch stimmt schon, so steht es in der Musterlösung.
Könntest du mir sie vielleicht Schritt für Schritt erklären damit ich sie besser nachvollziehen kann? Wäre echt sehr nett smile

Zitat:
Original von srolle
PS: Du kannst hier die Bernoulli-Gleichung nicht verwenden, weil hier keine Binomialverteilung vorliegt, sondern eine hypergeometrische Verteilung.

Kannst du das bitte genauer erläutern? Ich hatte angenommen es geht mit der Bernoulli Formel, da die Polizei entweder die unverzollten Zigaretten finden kann, oder eben nicht.


Danke schonmal fürs interesse

EDIT: Oh, sehe gerade, dass ich im ersten post in der Bernoulli Formel ein "x" anstatt eines Multiplikationszeichens geschrieben habe.
srolle Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polizei entnimmt 5 Stangen zufällig ohne sie zurückzulegen, deshalb liegt hier keine Binomialverteilung vor, da sich die Binomialverteilung nur auf mit Zurücklegen bezieht.

Die Binomialverteilung würde auf deine Aufgabe bezogen nur zutreffen, wenn die Polizei von den 100 Stangen jeweils eine entnimmt, überprüft und anschließend wieder zurücklegt - und das mehrmals wiederholt.
nuc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von srolle
Die Polizei entnimmt 5 Stangen zufällig ohne sie zurückzulegen, deshalb liegt hier keine Binomialverteilung vor, da sich die Binomialverteilung nur auf mit Zurücklegen bezieht.

Verstehe. Die vorherige Aufgabe hieß so:
In einer deutschen Großstadt hatten 10.7% der Zigarettenschachteln keine Steuerbanderole. Es soll also p=0,107 angenommen werden.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dort von 40 zufällig gesammelten Schachteln genau 4 Schachteln keine Steuerbanderole haben.

Ich habe mit Bernoulli gerechnet und so stand es auch in der Musterlösung:

(40 nCr 4) 0,107^4 x 0,893^(40-4) = 0,204 => 20,4%

Wie wird da das von dir beschriebene "zurücklegen" ersichtlich?
srolle Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre genau genommen auch eine hypergeometrische Verteilung, jedoch lässt sich in deiner Aufgabe die Wahrscheinlichkeit durch die Binomialverteilung sehr gut approximieren (wenn die Gesamtmenge wesentlich größer als die "Ziehungen" ist), sodass die Abweichung zur exakten hyergeometrischen Verteilung sehr gering ist.

Dass du in der Lösung die Binomialverteilung verwendet wurde, liegt aber auch daran, dass sich die hypergeometrische ohne konkrete Angaben (wieviele Zigarattenschachteln?) nicht verwenden lässt.

Nehmen wir mal an, dass es Insgesamt 10000 Zigarettenschachteln wären, die eine Steuerbandreole haben. Dann sind es folglich 1070 ohne. Ich komme mit hypergeometrische Verteilung auf:



Du siehst, dass sich unsere Ergebnise nicht sonderlich unterscheiden.

PS: Ich wäre dankbar, wenn sich diesbezüglich noch jemand äußern könnte, der auf dem Gebiet fitter ist als ich. smile
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Die hypergeometrische Verteilung ist hier ungeeignet: Dieser Prozentwert ist hier eher als ein Durchschnittswert unabhängig von der konkreten Stichprobe zu verstehen. Die exakte Anzahl an Schmuggelstücken ist unbekannt.
nuc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Die hypergeometrische Verteilung ist hier ungeeignet: Dieser Prozentwert ist hier eher als ein Durchschnittswert unabhängig von der konkreten Stichprobe zu verstehen. Die exakte Anzahl an Schmuggelstücken ist unbekannt.

Ok, ich denke das habe ich verstanden.
Und ein "Zurücklegen" ist nicht nötig da die Wahrscheinlichkeit von 10,7% immer gleich bleibt?


Dann wäre es noch nett wenn mir jemand die in meinem ersten Post vorgestellte Musterlösung Schritt für Schritt erklären könnte, da ich sie nicht so ganz verstehe:

(92/100) x (91/99) x (90/98) x (89/97) x (88/96)= 65,32%


Ansonsten danke schonmal für Eure Hilfe!
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

In dem ersten Post wird von genau 8 aus 100 Schmuggelstücken ausgegangen, das ist etwas essentiell anderes.
In dem Fall der ersten Aufgabe verändert sich die Wahrscheinlichkeit dadurch, dass du eben nicht zurücklegst. Das wäre die hypergeometrische Verteilung. Am Besten veranschaulichst du dir dies an einem Baumdiagramm.

Eröffne zukünftig bitte für jede Aufgabe ein separates Thema.
nuc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Am Besten veranschaulichst du dir dies an einem Baumdiagramm.

Ok mithilfe eines Baumdiagramms habe ich es jetzt verstanden! Danke!
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