bivariate Normalverteilung Beispiel

17.12.2012, 23:06

TakIsBack7

bivariate Normalverteilung Beispiel

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabenstellung:

X~N(0,1)
Y~N(0,1)

Z als Zufallsvariable definiert: Z = 2X+Y-1

Berechne:

Erwartungswert (Z)
Varianz (Z)
Erwartungswert (Z|X)

Meine Ideen:
Meine Berechnung lautet wie folgt:

E(Z) = E(2X+Y-1) = 2 E(X)+E(Y)-1 = 2x0 + 0 - 1 = -1
V(Z) = V(2X+Y-1) = 2² V(X) + V(Y) + 2x2xCov(X,Y) = 4x1 + 1 + 0 = 5

Stimmen meine Berechnungen so (mit der Anwendung von den Rechenregeln des Erwartungswerts und der Varianz), oder liege ich voll daneben...

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit habe ich nun wirklich keine Ahnung wie ich anfangen soll, wäre für Tipps sehr dankbar!

PS: Die Rechenregeln und Formeln sind mir klar bzw. finde ich diese überall in diversen Quellen, jedoch mangelt es mir an der praktischen Umsetzung, darum wäre ich auch für Rechengänge sehr dankbar...

18.12.2012, 12:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von TakIsBack7
Meine Berechnung lautet wie folgt:

E(Z) = E(2X+Y-1) = 2 E(X)+E(Y)-1 = 2x0 + 0 - 1 = -1
V(Z) = V(2X+Y-1) = 2² V(X) + V(Y) + 2x2xCov(X,Y) = 4x1 + 1 + 0 = 5

Alles völlig korrekt. Freude

Bei der bedingten Erwartung helfen ein paar Eigenschaften:

Für eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und eine Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} E(U \bigm| \mathcal{A}) = U \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ -messbar ist. So gilt insbesondere für $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} = \sigma(X) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} U = g(X) \end{eqnarray*}$ mit irgendeiner Borelmessbaren Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} E(g(X) \bigm| X) = g(X) \end{eqnarray*}$ .

Eine zweite wichtige Eigenschaft ist $\begin{eqnarray*} E(U \bigm| \mathcal{A}) = E(U) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ist.

Was folgt mit diesen beiden Eigenschaften, wenn man vorher per Linearität

$\begin{eqnarray*} E(2X+Y-1 \bigm| X) = 2E(X \bigm| X) + E(Y \bigm| X)-1 \end{eqnarray*}$

zerlegt hat? verwirrt

18.12.2012, 23:18

TakIsBack

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Danke sehr!

Das heißt also folgendes:

E(2X+Y-1|X) = 2 E(X|X)+E(Y|X)-1 = 2 E(X) + E(Y) - 1 = 2x0+0-1 = -1

Nach der Beschreibung habe ich nun auch ein anderes Beispiel (hoffentlich richtig) berechnet:

X~N(0,1)
Y~N(0,1)
Cov(X,Y) = 0
Z = XY+2X

E(Z) = E(XY+2X) = E(X)E(Y) + 2 E(X) = 0

V(Z) = V(XY+2X) = V(XY) + 2² V(X) + 2x2 Cov(X,Y) =
= E(X)² V(Y) + E(Y)² V(X) + V(X) V(Y) = 1

E(Z|X) = E(XY+2X|X) = E(XY|X) + 2 E(X|X) = 0 + 2x0 = 0

Sind diese Rechenschritte und die Lösungen richtig?

19.12.2012, 19:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von TakIsBack
Das heißt also folgendes:

E(2X+Y-1|X) = 2 E(X|X)+E(Y|X)-1 = 2 E(X) + E(Y) - 1 = 2x0+0-1 = -1

Anscheinend hast du meine Ausführungen nicht richtig gelesen: Es ist NICHT $\begin{eqnarray*} E(X \bigm| X) \stackrel{?}{=} E(X) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} E(X \bigm| X) = X \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Zitat:

Original von TakIsBack
V(XY+2X) = V(XY) + 2² V(X) + 2x2 Cov(X,Y)

Nein, so geht das nicht: Wenn schon, dann

V(XY+2X) = V(XY) + 2²*V(X) + 2*2*Cov(XY,X)

Die weitere Rechnung ist auch rätselhaft - keine Ahnung, was du da machst, das Endergebnis ist jedenfalls nicht 1, sondern 5.

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