Stetigkeitsbeweis

18.12.2012, 16:56

x^2+1<0

Stetigkeitsbeweis

Meine Frage:
Hallo, ich muss die Stetigkeit folgender Funktion mittels $\begin{eqnarray*} \epsilon \delta -Kriterium \end{eqnarray*}$ beweisen.

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R f(x)= \begin{cases} x+1 & x>0 \\ x & x<0 \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

vielleicht könnt ihr mir da ja helfen smile

Meine Ideen:
Ich glaube zu wissen, dass ich auf irgendwas in der Form:

$\begin{eqnarray*} |f(x)+f(x_{o}|=|x-x_{0}|<\delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

kommen muss, um dann mein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen zu können.

Mein Ansatz war bisher folgender

für $\begin{eqnarray*} x_{0}>0 , x_{0}\in D \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |f(x)+f(x_{o}| =|(x+1)-(x_{0}+1)|> |x-x_{o}| < \delta = ??? \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x_{0}<0 , x_{0}\in D \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |f(x)+f(x_{o}| =|x-x_{0}| < \delta = ??? \end{eqnarray*}$

soweit mein Kenntnisstand

18.12.2012, 17:46

Pik 7

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Zitat:

Ich glaube zu wissen, dass ich auf irgendwas in der Form:

$\begin{eqnarray*} |f(x)+f(x_{o}|=|x-x_{0}|<\delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

kommen muss, um dann mein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen zu können.

Das klingt nicht so gut ...

Du musst zu einem vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen, so dass aus

$\begin{eqnarray*} |x-x_{0}|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{o}|< \epsilon \end{eqnarray*}$

Weil die Funktionen x + 1 und x beide stetig sind, ist das doch nur an der Schnittstelle x=0 zu zeigen.

Übrigens ... in der Definition dürfte entweder ein "kleiner gleich" oder ein "größer gleich" stehen ....

18.12.2012, 17:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von Pik 7
Du musst zu einem vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen, so dass aus

$\begin{eqnarray*} |x-x_{0}|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{o}|< \epsilon \end{eqnarray*}$

Anders herum; das Epsilon ist vorgegeben.

Zitat:

Übrigens ... in der Definition dürfte entweder ein "kleiner gleich" oder ein "größer gleich" stehen ....

Nein, sonst würde die Stetigkeit ja verloren gehen.

18.12.2012, 18:11

x^2+1<0

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wo ich immer noch beim Problem stehe und nicht weiß, was zu tun ist Tanzen

bzw. wie

18.12.2012, 18:18

Pik 7

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@che netzer

Das hier meine ich:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R f(x)= \begin{cases} x+1 & x>0 \\ x & x<0 \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

an der Stelle x=0 ist die Funktion nicht defiiniert!

18.12.2012, 18:21

Che Netzer

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Ja, das soll sie auch nicht sein. Nur mit dieser Definitionslücke ist sie stetig.

18.12.2012, 18:21

Pik 7

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Ansonsten ist die Korrektur natürlich vollkommen richtig. Epsilon ist vorgegeben und Delta ist zu bestimmen.

18.12.2012, 18:24

Pik 7

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Zitat:

Ja, das soll sie auch nicht sein. Nur mit dieser Definitionslücke ist sie stetig.

Na, wenn du dich da mal nicht vertust ... die Funktion ist nämlich NICHT stetig! Bilde doch den linkseitigen und rechtsseitigen Grenzwert ... Big Laugh

18.12.2012, 18:27

Che Netzer

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Die dürfen sich ruhig unterscheiden. Aber es gibt keinen Funktionswert, dem sie nicht gleichen könnten.
Anders gefragt: Wo sollte die Funktion denn unstetig sein?

18.12.2012, 18:58

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Pik 7

Zitat:

Original von Che
Ja, das soll sie auch nicht sein. Nur mit dieser Definitionslücke ist sie stetig.

Na, wenn du dich da mal nicht vertust ... die Funktion ist nämlich NICHT stetig! Bilde doch den linkseitigen und rechtsseitigen Grenzwert ... Big Laugh

Dass du dich mal nicht vertust! Schau dir mal genau die Definition von Stetigkeit an. Es geht darum, dass die $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung nur innerhalb des Definitionsbereich von $\begin{align*} f \end{align*}$ betrachtet wird. Beim Definitionsbereich $\begin{align*} D := (\infty,0)\cap (0,\infty) \end{align*}$ von $\begin{align*} f \end{align*}$ handelt es sich um die disjunkte Vereinigung von zwei offenen Mengen und man kann zu jedem Punkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ des Defintionsbereichs eine $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung finden, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0,\forall x\in D: \exists \delta > 0: |x-x_0| <\delta: |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Der Witz bei dieser Abbildung ist, dass die Unstetigkeit bei 0 nur eine scheinbare ist, denn 0 gehört nicht zum Definitionsbereich.

18.12.2012, 19:05

x^2+1<0

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Ich find's ja schön, dass ihr darüber diskutiert ob die Aufgabenstellung richtig ist, das bringt mich der Lösung nur bedingt weiter geschockt

18.12.2012, 19:07

RavenOnJ

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Niemand diskutiert, ob die Aufgabenstellung richtig ist. Es wird gerade über den Begriff "Stetigkeit" diskutiert, denn es wurde fälchlicherweise behauptet, deine Funktion hätte eine Unstetigkeitsstelle. Es würde dich der Lösung auf alle Fälle weiter bringen, wenn du dir nochmal genau die Definition von Stetigkeit anguckst. Lies auch mal meinen Beitrag dazu genau, vor allem der Bezug auf den Definitionsbereich der Funktion.

18.12.2012, 20:13

Pik 7

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Also ... die Funktion ist stetig. Das liegt eben gerade daran, dass die Stelle x=0 NICHT im Definitionsbereich enthalten ist. Das ist der Witz bei der Aufgabe, den ich übersehen hatte!

Und somit ist die Stetigkeit nur für x ungleich 0 zu beweisen.

Wie oben vermerkt heißt dies:

Zu jedem vorgegebenen EPSILON > 0 muss man ein DELTA > 0 finden mit der Eigenschaft:

aus

$\begin{eqnarray*} |x-x_{0}|<\delta \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{o}|< \epsilon \end{eqnarray*}$

Und für die hier verwendeten Funktionen x bzw. x + 1 ist dies sehr einfach. Man kann etwa zum vorgegebenen EPSILON einfach

$\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

wählen.

Jetzt sollte der Beweis eigentlich keiin Problem mehr sein.

18.12.2012, 20:29

Che Netzer

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Naja, für $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon=2 \end{eqnarray*}$ wäre das Delta zu groß gewählt, wenn man es als $\begin{eqnarray*} \delta:=\varepsilon \end{eqnarray*}$ definiert.

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