Unterräume, Basen

18.12.2012, 17:02	Hantel	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume, Basen Gegeben seien die folgenden Unterräume des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <br /> U = &\lbrace (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^3 \mid x_1 + x_2 + x_3 = 0 \rbrace<br /> V = &\lbrace (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^3 \mid x_1 = x_3 \rbrace<br /> W = &\lbrace (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^3 \mid x_1 = x_2 = 0 \rbrace \end{eqnarray}$ (A) Bestimmen Sie die Basen von U, V, W. (B) Zeigen Sie: U + V = U + W = V + W = $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Welche der Summen sind direkt? Lsg. ansatz: $\begin{eqnarray} A: e_{U1} = \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, e_{U2} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ; e_{V1} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, e_{V2} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ; e_{W} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann man sich mit diesen Basen ausgerüstet der Aufg. (B) widmen? Fehlen irgendwelche Rechenwege oder Formalia? Danke im Voraus.
18.12.2012, 17:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Basen Ja, mit den Basen kannst du die B) machen. Für die Direktheit kannst du die Dimensionsformel nutzen. Ach ja, wenn du diese Zwei loswerden möchtest, könntest du auch $\begin{eqnarray} e_{U1}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wählen.

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