Scharfunktion Nullstellen

18.12.2012, 17:20

Ina_93

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Scharfunktion Nullstellen

Meine Frage:
Hallo, ich bin im Mathe-LK und schreibe morgen eine Klausur über Scharfunktionen. Leider bin ich nicht nicht besonders gut, bzw. ziemlich unsicher in dem Thema. Die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f_{a}(x)=ax^{5}+4x^{3} \end{eqnarray*}$ . Dazu muss ich die Symmetrie, die Nullstellen und Schnittpunkte mit der Ordinate und die Extrem- und Wendepunkte berechnen. Vielen Dank im Vorraus.

Meine Ideen:
Ich bin schon an der Symmetrie gescheitert, da ich den unterschied zwischen f(-x) und -f(x) nicht verstehe und bei den Ableitungen weiß nicht ob ich nun nach a oder nach x auflösen muss.

18.12.2012, 17:29

Gast11022013

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Beim ableiten löst du nach gar nichts auf.
smile

smile

Du leitest immer nach der Variablen ab, die bei der Funktion in der Klammer steht, naiv gesagt.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\dotso \end{eqnarray*}$

hier steht das x in Klammern, also ist dieses unsere Variable. Der Index, hier a, bezeichnet unseren Parameter. Dieser ist beim differenzieren wie eine normale konstante Zahl zu verwursten.

smile

smile

Das Symmetrieverhalten kannst du auch an den Exponenten erkennen. Wenn alle Exponenten, also die Hochzahlen, ungerade sind, dann handelt es sich um Punktsymmetrie. Wenn sie gerade sind, dann haben wir eine achsensymmetrische Funktion.
Ist es ein Mix aus geraden und ungeraden Exponenten, dann ist die Funktion überhaupt nicht symmetrisch.

Andernfalls für das x ein -x einsetzen und gucken ob beim ausklammern von einer -1 die "original Funktion" entsteht.

Kommst du damit erstmal weiter?
Welche Symmetrie haben wir hier?
Wie lauten die ersten 3 Ableitungen?

18.12.2012, 18:04

Ina_93

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Danke, damit komme ich auf jeden Fall klar.

Eine Symmetrie ist nicht vorhanden, da die Exponenten gemischt sind.

Die 1. Ableitung ist: 5x^4-12x^2
Die 2. Ableitung ist: 20x^3 - 24x
Die 3. Ableitung ist: 60x^2 - 24

Richtig? smile

smile

Und was mach ich dann später mit dem a? Ist das bei Extrem- und Wendepunkten nicht interessant?

18.12.2012, 18:15

Gast11022013

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Wir haben hier die Exponenten

5 und 3

Haben wir da tatsächlich einen Mix? Zur Erinnerung: Eine gerade Zahl ist durch 2 teilbar. Eine ungerade nicht.

Ist 5 durch 2 teilbar?
Ist 3 durch 2 teilbar?

Deine Ableitungen sind leider nicht korrekt. Der Parameter fällt beim differenzieren nicht weg. Es ist eine Konstante Zahl. Die fallen ja auch erst dann weg, wenn sie nicht mehr mit einer Variablen multipliziert werden. Die schleppt man ja auch mit.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^5-4x^3<br /> <br /> f '(x)=2\cdot 5x^4-12x^2<br /> <br /> f ''(x)=2\cdot 20x^3-24x<br /> <br /> f '''(x)=2\cdot 60x^2-24<br /> \end{eqnarray*}$

Hier wäre a=2

18.12.2012, 18:30

Ina_93

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Ja, stimmt. Das war wohl ein Flüchtigkeitsfehler mit den Exponenten, sie sind beide ungerade also ist es Punktsymmetrie.

Wenn man a=2 nimmt, dann wären die Ableitungen richtig, allerdings mit einem a davor. Also
f'(x)=a5x^4-12x^2
f"(x)=a20x^3-24x
f'''(x)=a60x^2-24

Ist es soweit richtig? Also fällt das a nicht einfach weg, wird aber nicht mit abgeleitet?

Ich bin nun gerade bei den Nullstellen und bin mir da etwas unsicher. also bis jetzt war ich soweit:
ax^5+4x^3=0
x^3(ax^2+4)=0 | x^3=0
ax^2+4=0 | -4
ax^2=-4

Aber danach weiß ich nicht recht, denn ich brauche ja nicht ax sondern nur x auf einer Seite. Kann ich das a einfach rüber ziehen. Aslo:

ax^2=-4 | :a
x^2= -4/a

Und dann sind die Nullstellen x= -4/a und x=4/a

Ist das soweit richtig?

18.12.2012, 18:35

Gast11022013

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Wenn du durch a teilst, dann musst du einen Wert für das a ausschließen.
Durch welche Zahl darf man nicht teilen?

Dann hast du in deiner Rechnung komischerweise aus dem Minus ein Plus gemacht.

Die Funktion lautet doch:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=ax^5-4x^3 \end{eqnarray*}$

weshalb es eigentlich:

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{4}{a} \end{eqnarray*}$

lauten müsste (wenn es nicht im Eingangspost ein Tippfehler war).

Jetzt haben wir hier x² stehen. Wir wollen aber wissen, was x ist und nicht x². Was ist also noch zu tuen?
Dabei mache dir auch Gedanken, für welche Werte von a diese Rechenoperation überhaupt erlaubt ist. Ebenso wie bei dem dividieren mit a.

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18.12.2012, 18:52

Ina_93

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Die Funktion lautet doch:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=ax^5-4x^3 \end{eqnarray*}$

weshalb es eigentlich:

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{4}{a} \end{eqnarray*}$

lauten müsste (wenn es nicht im Eingangspost ein Tippfehler war).

Du hast recht, es ist ein Minus und im Eingangspost war ein Tippfehler, da hatte ich nämlich Plus geschrieben, und hatte natürlich mit Plus gerechnet.

Wenn x²=... rauskommt, dann muss man ja die Wurzle ziehen. Also wären die Nullstelle dann:

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{4}{a} } \end{eqnarray*}$

Ich dachte immer, dass man einfach nur die Zahl mit beiden Vorzeichen dann das Ergebnis wäre. Also

$\begin{eqnarray*} x=\frac{4}{a} \vee x=-\frac{4}{a} \end{eqnarray*}$

18.12.2012, 18:57

Gast11022013

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Das Wurzelziehen bringt die Lösung:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac4a} \end{eqnarray*}$

Also wenn du

$\begin{eqnarray*} x^2=9 \end{eqnarray*}$

hast, dann ist

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}\neq \pm 9 \end{eqnarray*}$

Dementsprechend verstehe ich deinen Zusatz nicht. Gibt es bezüglich des radizieren (wurzelziehen) eine Frage.

Edit: Wie steht es nun mit den Werten von a?

Darf a alle Werte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ annehmen?

18.12.2012, 19:04

Ina_93

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Hab das nun mit dem Wurzel ziehen verstanden smile

smile

a ist Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also würde damit ja $\begin{eqnarray*} x=- \frac{4}{a} \end{eqnarray*}$ kein Element des Definitionsbereiches sein und somit irrelevant?

18.12.2012, 19:08

Gast11022013

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Hier lässt du auf einmal das Wurzelzeichen komplett Weg.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{4}{a}}=\pm\frac{2}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Frage:

Für welche Werte von a ist das Wurzelziehen überhaupt möglich?
Für welche Werte von a ist das dividieren durch a überhaupt möglich?

Deinen letzten Satz streichen wir mal komplett. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.12.2012, 19:15

Ina_93

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Jetzt die Frage:

Für welche Werte von a ist das Wurzelziehen überhaupt möglich?
Für welche Werte von a ist das dividieren durch a überhaupt möglich?

1. Das Wurzelziehen ist nur mit positiven Zahlen möglich, also ist es nur wenn der Wert von a>0 ist
2. Durch fast alle? Ich wüsste keinen Wert den man nicht durch 4 teilen kann, bis auf Null.

18.12.2012, 19:21

Gast11022013

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Zitat:

bis auf Null

Freude

Wir halten also fest, a muss echt größer als Null sein.

Also

$\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$

Das sollte man irgendwo als Randbemerkung vermerken. Am besten bei den jeweiligen Umformungen. Das spart unteranderem auch eine spätere Fallunterscheidung, ob Hoch oder Tiefpunkt, falls es in der Aufgabenstellung nicht ohnehin schon ausgeschlossen wurde.
smile

smile

Dann brauchen wir jetzt noch den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Deine Schnittpunkte mit der x-Achse sollten mittlerweile

$\begin{eqnarray*} Sx_1\left(\frac{2}{\sqrt{a}}|0\right)<br /> <br /> Sx_2\left(-\frac{2}{\sqrt{a}}|0\right) \end{eqnarray*}$

lauten. Da bestand noch Korrektur bedarf.

18.12.2012, 19:36

Ina_93

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Zitat:

Original von Gmasterflash

Dann brauchen wir jetzt noch den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Deine Schnittpunkte mit der x-Achse sollten mittlerweile

$\begin{eqnarray*} Sx_1\left(\frac{2}{\sqrt{a}}|0\right)<br /> <br /> Sx_2\left(-\frac{2}{\sqrt{a}}|0\right) \end{eqnarray*}$

lauten. Da bestand noch Korrektur bedarf.

Warum denn eine 2 Zähler? Muss da nicht eine 4 stehen?

18.12.2012, 19:43

Gast11022013

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Wenn du die 4 schreibst, dann musst du auch das Wurzelzeichen lassen.
Die 2 entsteht wenn du die Wurzel eben weglässt, da

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$

ist.

So ist die Schreibweise meiner Meinung nach kompakter.

18.12.2012, 19:45

Ina_93

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Und die Schnittpunkte mit der Ordinate bekommt man raus, wenn man einfach 0 in Funktion einsetzt. Also:

$\begin{eqnarray*} a*0^{5}-4*0^{3}=0 \end{eqnarray*}$

Der Schnittpunkt liegt bei 0 mit der Ordinate.

Ich hoffe, dass es richtig ist und du die Hoffnung mit mir noch nicht ganz aufgegeben hast smile

smile

18.12.2012, 19:47

Gast11022013

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Bisher schlägst du dich doch ganz wacker. smile

smile

Schnittpunkt mit der y-Achse ist korrekt.

$\begin{eqnarray*} Sy(0|0) \end{eqnarray*}$

Jetzt die Extrem und Wendepunkte.

18.12.2012, 20:13

Ina_93

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Ich bin nun bei den Extremwerten und habe als Ergebnis, wenn ich die erste Ableitung gleich Null setze
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{2,4}{a}} \end{eqnarray*}$ heraus.

Ich hab von der 2,4 keine Wurzel gezogen, da dort eine ungenau Zahl heraus kommt und ich es so besser finde als zu runden.
Da die zweite Ableitung $\begin{eqnarray*} f_{a}''(x)= a20x^{3}-24x \end{eqnarray*}$ ist, muss man ja das Ergebnis dort einsetzen und da würde dann ja $\begin{eqnarray*} f_{a}''(\sqrt{\frac{2,4}{a}})= a20(\sqrt{\frac{2,4}{a}})^{3}-24(\sqrt{\frac{2,4}{a}}) \end{eqnarray*}$ sein. Und ab hier komme ich nicht mehr weiter.

18.12.2012, 20:28

Gast11022013

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Deine Extrempunkte stimmen, aber du hast hier noch welche vergessen.
smile

smile

Um zu gucken ob es Hoch oder Tiefpunkt ist, musst du es in die zweite Ableitung einsetzen. Das ist ebenfalls richtig.
Jetzt müssen wir gucken, ob es größer oder kleiner Null ist.
Keine einzige Idee wie du das machen kannst?

18.12.2012, 20:43

Ina_93

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Ich schreib dir mal was ich gerechnet habe, für die Extremwerte.
$\begin{eqnarray*} f_{a}''(x)= a5x^{4}-12x²=0 |+12<br /> = a5x^{4}- x²=12 | :5<br /> = a x^{4}-x²=2,4<br /> = a x^{2}=2,4 | :a<br /> = x²=\frac{2,4}{a} <br /> = x=\pm \sqrt{\frac{2,4}{a}} \end{eqnarray*}$

Eigentlich müssen es 4 Nullstellen bzw. Extremwerte sein, aber ich weiß nicht wie ich es anders lösen kann.

Zu der zweiten Ableitung, da würde ich sagen, dann man evtl. erst die Klammern auflöst, richtig?

18.12.2012, 20:48

Gast11022013

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Aua.

Da machst du aber ganz schön viele Fehler.

Direkt in der ersten Zeile. Du kannst die 12 nicht durch addition von dem x² trennen. Diese sind doch über multiplikation verbunden.
In der zweiten Zeile teilst du dann durch 5. Dies ist eine äquivalente Umformung. Das heißt, dass sie für alle "Teile" der Gleichung gelten.

In der nächsten Zeile müsste es also wendern:

$\begin{eqnarray*} ax^4-\frac{x^2}{5}=2.4 \end{eqnarray*}$

lauten.

Dann teilst du durch a und auf wundersame weise verschwindet das x² und aus dem x^4 wird ein x². verwirrt

verwirrt

Wenn ich dir sage, dass du einfach hättest ausklammern müssen, wird dir sicher ein Licht aufgehen.
smile

smile

18.12.2012, 21:05

Ina_93

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Oh man, ausklammern. Ja klar. Jetzt ergibt auch alles viel mehr Sinn smile

smile

$\begin{eqnarray*} f_{a}''(x)= a5x^{4}-12x²=0<br /> = x²(a5x²-12)=0 |x²=0<br /> =a5x²-12=0 |+12<br /> a5x²=12 |:5<br /> ax²=2,4 |:a<br /> x²=\frac{2,4}{a}<br /> x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{2,4}{a}} \wedge x_{3,4}=0 \end{eqnarray*}$

So ist schon besser oder?

Aber nun ist das Problem der zweiten Ableitung wieder da. :/

18.12.2012, 21:21

Gast11022013

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Ja so ist besser. Freude

Freude

Bezüglich der zweiten Ableitung können wir festhalten, dass diese größer Null ist, wenn

$\begin{eqnarray*} 20a\cdot \left(\sqrt{\frac{2.4}{a}}\right)^3>24\cdot (\sqrt{\frac{2.4}{a}} \end{eqnarray*}$

und kleiner Null, wenn

$\begin{eqnarray*} 20a\cdot \left(\sqrt{\frac{2.4}{a}}\right)^3<24\cdot (\sqrt{\frac{2.4}{a}} \end{eqnarray*}$

gilt.

Dabei fällt schon beim ersten Fall etwas auf.
Andernfalls könnte man auch die obige Form soweit umformen, bis man direkt erkennt, ob es größer oder kleiner als Null ist. Meiner Meinung nach ist der oben angedeutete Weg jedoch einfacher.

Leider muss ich jetzt auch weg. Ich könnte vielleicht später nochmal reinschauen, oder morgen wieder. Andernfalls kann an dieser Stelle gerne übernommen werden.

18.12.2012, 21:23

Ina_93

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Und wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{3,4} \end{eqnarray*}$ in die zweite Ableitung einsetze kommt da ja null raus, also ist dies weder Hoch- noch Tiefpunkt?

18.12.2012, 21:25

Ina_93

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Vielen Dank für deine Hilfe, finde es super, dass du dir Zeit für mich genommen hast. Du hast mir echt weitergeholfen! smile

smile

18.12.2012, 21:25

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Freude

Für diesen Fall ist keine Aussage möglich, und der verdacht kommt auf, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Das heißt, dass x=0 in der dritten Ableitung auf Wendepunkt zu überprüfen ist.

Edit: Dann bin ich ja beruhigt, wenn es dir hilft.
smile

smile

Wink

18.12.2012, 21:43

Ina_93

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Vielleicht kann sich dies noch jemand anschauen?
Ich habe nun folgendes gerechnet, glaube aber wieder etlich viele Regeln verletzt zu haben.

$\begin{eqnarray*} 20a(\sqrt{\frac{2,4}{a}})^{3}>24(\sqrt{\frac{2,4}{a}})|-(\sqrt{\frac{2,4}{a}})<br /> 20a(\sqrt{\frac{2,4}{a}})^{2}>24 |-24<br /> (20a(\sqrt{\frac{2,4}{a}})^{2})-24>0 \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich hab ich wieder Regeln verletzt und wie kann ich mir nun sicher sein, dass es größer als null ist?

18.12.2012, 21:59

Ina_93

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Oh man, schlafen denn alle schon? :/

18.12.2012, 22:43

Gast11022013

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Du solltest die Ungleichung nicht nach Null aufbröseln, sondern es so stehen lassen. Dann erkennt man es sehr schön.
Dann dividieren (nicht subtrahieren!) mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2,4}{a}} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} 20a\cdot \left(\sqrt{\frac{2,4}{a}}\right)^2>24 \end{eqnarray*}$

Die Wurzel und das hoch zwei lösen sich weg:

$\begin{eqnarray*} 20a\cdot \frac{2,4}{a}>24 \end{eqnarray*}$

Nun kürzt sich das a raus:

$\begin{eqnarray*} 20\cdot 2,4>24<br /> <br /> 48>24 \,\checkmark \end{eqnarray*}$

Das wäre auch immer so. Deshalb kann man sich die zweite Möglichkeit auch sparen. Die führt zu einem Widerspruch.
Somit ist

$\begin{eqnarray*} f_a ''(\sqrt{\frac{2,4}{a}})>0 \end{eqnarray*}$

Somit welcher Extrempunkt?

Für den negativen Wert geht es analog. Andernfalls könntest du auch geschickt mit der Punktsymmetrie argumentieren, denke ich.

smile

smile

19.12.2012, 13:37

Ina_93

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Vielen Dank nochmal dafür, dass hat mir heute sehr weitergeholfen und die Klausur lief auch sehr gut damit smile

smile

19.12.2012, 16:45

Gast11022013

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Gern geschehen.

Dann wollen wir hoffen, dass auch die Note dementsprechend ausfällt.
smile

smile

Wink

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