Matrix Multiplikation A^100 |
| 18.07.2004, 20:31 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Matrix Multiplikation A^100 a) bestimmen Sie die eigenwerte und Eigenvektoren Das ist kein problem aber Teil b b) Berechnen Sie A^100 Das ist eine Klausuraufgabe und ich kann mir nicht vorstellen das die Studies die Matrix 100 mal multiplizieren sollten. Wo liegt da der Trick? über Eigenvektoren haben wir nur die Berechnungsmöglichkeiten gehört. |
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| 18.07.2004, 20:43 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Mazze, Hast du die Eigenwerte berechnet? Falls es zwei verschiedene sind, dann ist die Matrix diagonalisierbar. Bestimme die zu der Matrix ähnliche Diagonalmatrix und potenziere diese. Es potenzieren sich dann jeweils nur die Diagonalelemente. Dann musst noch 2 Matrixmultiplikationen durchführen, um die entsprechende Potenz der ursprünglichen Matrix zu bekommen. Lieben Gruss, Irrlicht |
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| 18.07.2004, 20:55 | Kolja | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, also die Diagonalmatrix berechnet man einfach mit Gauss oder? und dann halt (a11)^100 und (a22)^100 ... aber den letzten schritt hab ich gar nicht verstanden, könntes du ihn bischen detailierter erklären? 
Mfg Kolja |
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| 18.07.2004, 21:02 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Kolja, Zwei Matrizen A und B heissen ähnlich, wenn es eine Matrix S gibt mit S*B*S^(-1) = A. In unserem Fall ist B die diagonalisierte Matrix von A. Das S^(-1) (oder S, es kann sein, dass ich mich nicht mehr gut genug daran erinnere) ist die Matrix deren Spalten die beiden Eigenvektoren der Eigenwerte sind. Die zwei Matrixmultiplikationen, die man noch durchführen muss sind S*B^100 und S*B^100*S^(-1). Lieben Gruss, Irrlicht |
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| 18.07.2004, 21:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ahja, ergibt Sinn, schade nur das wir es nich hatten! |
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| 18.07.2004, 21:50 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Mazze, Dann gäbe es noch eine weitere Möglichkeit. Die Eigenwerte der Matrix A sind 1 und 2, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Sei B := A^100. Also haben wir die Gleichungen: Bx = 2^100x für einen Eigenvektor x bzgl. des Eigenwertes 2, By = 1^100y für einen Eigenvektor y bzgl. des Eigenwertes 1. Das sind 4 Gleichungen für die 4 Komponenten von B. Naja, ob das nun wirklich besser ist, als das erste Verfahren, soll mal jeder selbst für sich entscheiden. Lieben Gruss, Irrlicht |
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| 18.07.2004, 22:00 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ach die Eiegenwerte potenzieren sich analog zu den Matrizen? Die Eigenvektoren bleiben erhalten richtig ? |
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| 18.07.2004, 22:04 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, Mazze, genau. Denn für einen Eigenvektor x zum Eigenwert a zu A gilt Ax = ax, A^2x = A(Ax) = A(ax) = a(Ax) = a^2x, usw. Lieben Gruss, Irrlicht |
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| 15.11.2011, 16:27 | gast05 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, ich hab eine ganz ähnliche Aufgabe, jedoch ist meine Matrix nicht diagonalisierbar: Das charakteristische Polynom sieht so aus : Wenn ich es mit den Gleichungen für die Komponenten probiere steht ja in jeder Zeile: Bx=(1^100)*x=x By=y Bz=z Da würde ich doch keine Indormation herausbekommen oder? Ich habs mal ein Programm ausrechnen lassen und das gibt mir das Ergebnis: |
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| 15.11.2011, 17:24 | gast05 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, habs über die Jordanform gemacht und herausgefunden! |
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