Frage zu Wurzelkriterium Spezialfall wenn =1 rauskommt

18.12.2012, 19:36

limap

Frage zu Wurzelkriterium Spezialfall wenn =1 rauskommt

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Reihe gegeben und möchte diese auf Konvergenz untersuchen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{z}{2})^{2n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe das Wurzelkriterium angewendet und erhalte damit
$\begin{eqnarray*} limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|(\frac{z}{2})^{2n}|}=|\frac{z^2}{4}| \end{eqnarray*}$
Damit ist dieser Ausdruck für |z|>2 echt größer als 1 und damit nach dem Wurzelkriterium für |z|>2 divergent.
Desweiteren ist dieser Ausdruck für |z|<2 echt kleiner als 1 und damit nach dem Wurzelkriterium für |z|<2 absolut konvergent.

Mein Problem: Was passiert für |z|=2?
Das Wurzelkriterium sagt ihr ja nichts aus.
Aber kann ich z.B. einfach z=2 in meine Reihe einsetzen? Damit ist z/2 immer gleich 1 und damit summiere ich ja mit meiner Reihe nur Einsen auf.
also $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{2})^{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}(1)^{2n} \end{eqnarray*}$ divergiert.
Die Reihe muss also für z=2 divergent sein. Stimmt das so?

18.12.2012, 19:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von limap
Aber kann ich z.B. einfach z=2 in meine Reihe einsetzen?

Kannst du, und du kriegst dann auch richtigerweise Divergenz für dieses $\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$ heraus.

Aber die Verwendung von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ lässt vermuten, dass es hier um beliebige komplexe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|=2 \end{eqnarray*}$ gehen soll, und da musst du argumentativ schon noch etwas nachlegen bzw. überhaupt "geschickter" vorgehen. Augenzwinkern

Sollte es nur um reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gehen, dann ist zumindest noch $\begin{eqnarray*} z=-2 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

18.12.2012, 20:06

limap

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Hallo HAL9000,
erstmal danke für deine Antwort.

Zitat:

Sollte es nur um reelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gehen, dann ist zumindest noch $\begin{eqnarray*} z=-2 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

In dem Fall könnte ich ja einfach $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{z}{2})^{2n} \end{eqnarray*}$ umschreiben zu:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}((\frac{z}{2})^{2})^{n} \end{eqnarray*}$
Durch das Quadrat erhalte ich dann für (z/2)² im Fall z=-2 nur die Werte 1 und damit folgt mit dem gleichen Argument wie für z=2, dass die Reihe divergieren muss.

Zitat:

Aber die Verwendung von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ lässt vermuten, dass es hier um beliebige komplexe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|=2 \end{eqnarray*}$ gehen soll, und da musst du argumentativ schon noch etwas nachlegen bzw. überhaupt "geschickter" vorgehen. Augenzwinkern

Stimmt - das war mir gar nicht aufgefallen, aber jetzt wo du es sagst - es soll schon um komplexe z gehen...
hmm, also wenn der Betrag von z gleich 2 ist, heißt das, dass sich mein z irgendwo auf einem Kreis mit dem Radius 2 befindet. Hilft mir das? Ich sehe gerade nicht, wie ich da weitermachen könnte.

18.12.2012, 20:25

HAL 9000

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Hinweis: Das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz ist, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden - das gilt auch im Komplexen. Augenzwinkern

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