Kontraktion

18.12.2012, 20:27	Opsit	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontraktion Meine Frage: Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(z):=\sqrt{z+2} \end{eqnarray}$ eine Kontraktion ist. Meine Ideen: Ich muss doch ein $\begin{eqnarray} 0< \theta <1 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \|f(z_1)-f(z_2)\| \le \theta \|z_1-z_2\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} (z_1,z_2) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Die Umformungen, die mir gelungen sind, sind folgende: $\begin{eqnarray} \|f(z_1)-f(z_2)\| =\|\sqrt{z_1+2} -\sqrt{z_2+2} \|= \left\| (z_1-z_2) \frac{1}{\sqrt{z_1+2} +\sqrt{z_2+2}} \right\| \end{eqnarray}$ . Aber wie mache ich weiter? Vielen dank schon einmal
18.12.2012, 20:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontraktion Wie soll diese Funktion überhaupt definiert sein?
18.12.2012, 20:46	Opsit	Auf diesen Beitrag antworten »
Dich irritiert wahrscheinlich diese komische komplexe Wurzel. Aber es gilt $\begin{eqnarray} \sqrt{z}=\sqrt{\|z\|} \exp{\frac{i \varphi}{2}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi \in \textrm{Arg}(z) \end{eqnarray}$ LG
18.12.2012, 20:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch aber gar nicht eindeutig. Im Prinzip kann man dann sogar zu einem einzigen $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ zwei Funktionswerte mit positivem Abstand haben; das klingt nicht wie eine Kontraktion
18.12.2012, 21:01	Opsit	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wie kann man denn sonst die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray} z_{k+1}=\sqrt{z_k+2} \ und \ z_0=1+i \end{eqnarray}$ zeigen. Also falls sie existiert. LG
18.12.2012, 21:03	Opsit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich wollt den Banachschen Fixpunktsatz anwenden
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