Kugelaufgabe

12.02.2007, 18:48

chiculata

Kugelaufgabe

Hi

ich hab da eine Aufgabe, die ich einfach nicht lösen kann:

gegeben sind die beiden Kugeln

k1: (x1 - 2)² + (x2 - 0)² + (x3 - 3)² = 25
und
k2: (x1 - 4)² + (x2 + 6)² + (x3 - 0)² = 4

nun soll ich zeigen, dass es eine gemeinsame Tangente gibt, die zur x1x2-Ebene parallel ist.
Außerdem bilden alle gemeinsamen Tangenten einen Kegel. Ich soll auch die Koordinaten der Kegelspitze bestimmen.

Ich bräuchte echt Hilfe mit diesen Tangenten, da komme ich nicht weiter.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte :>

danke schonmal

12.02.2007, 19:14

riwe

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RE: Kugelaufgabe
zur tangente:
$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun muß der richtungsvektor der geraden normal auf $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ stehen,
also 2 geraden durch M_i, das ergibt 4 mögliche kandidaten, davon passen:
$\begin{eqnarray*} B_1(2/0/-2) \end{eqnarray*}$ und und $\begin{eqnarray*} B_2(4/-6/-2) \end{eqnarray*}$ , und damit

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn´s wahr ist
werner

12.02.2007, 19:25

riwe

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RE: Kugelaufgabe
den 2. teil erledigst du am besten mit dem strahlensatz.
$\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ ist der mittelpunkt des kleineren kreises.
damit kannst du $\begin{eqnarray*} x=\mid\overrightarrow{M_2P}\mid \end{eqnarray*}$ berechnen.
und dann hast du
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM_2}+x\overrightarrow{(M_1M_2)_0} \end{eqnarray*}$
wobei der letzte vektor normiert ist.
$\begin{eqnarray*} P(\frac{16}{3}/-10/-2) \end{eqnarray*}$
oder so ähnlich verwirrt

werner

(edit: immer noch zu faul, das noch einmal zu tippen)

12.02.2007, 19:32

chiculata

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danke dir!
dann versuche ich das mal alles nachzurechnen Big Laugh

13.02.2007, 11:04

riwe

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nur der einfacheit halber, die 4 möglichen berührungspunkte bekommst du in diesem fall natürlich auch ganz einfach mit

$\begin{eqnarray*} M_2(4/-6/0) \to B_{1,2}(4/-6/0\pm r) \end{eqnarray*}$

und entsrechend die anderen 2.
unklar genug verwirrt

werner

14.02.2007, 14:07

chiculata

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oje oje

wie kommt man da auf DIESEN richtungsvektor??

man muss doch einfach die gerade berechnen die durch die berührpunkte

und

geht...
aber da komme ich auf den richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ..

außerdem berühren sich die kugeln nicht wenn ich sie zeichne -.-

und als wenn das nicht genug probleme wären, weiss ich nicht wie ich die kegelspitze ausrechnen soll
aber die lösung des strahlensatzes müsste richtig sein:
x = 14/3
wie muss ich dann weiterrechnen???

help me plzzzz traurig

14.02.2007, 16:16

riwe

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Zitat:

Original von chiculata
oje oje

wie kommt man da auf DIESEN richtungsvektor??

man muss doch einfach die gerade berechnen die durch die berührpunkte

und

vertraue dir selbst Big Laugh

paßt ja eh alles, schau bitte noch einmal nach, da habe ich ein paar kleinere rechenfehler korrigiert und noch was hingemalt.

und dividiere deinen richtungsvektor durch 2! es kommt ja nur auf die RICHTUNG an, dazu steht ja ein t davor Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x=\frac{14}{3} \end{eqnarray*}$ ist RICHTIG, und wie es weiter geht, habe ich dir ja eh schon geschrieben, auch die korrigierten koordinaten der kegelspitze.
aber vielleicht ist jetzt eh alles klar,
gib mir bitte bescheid.
werner

14.02.2007, 16:42

chiculata

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wobei der letzte vektor normiert ist"

also ich verstehe einfach nicht wie man das rechnen muss

das ist jetzt das einzige problem^^

14.02.2007, 19:15

riwe

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Zitat:

Original von chiculata
"

wobei der letzte vektor normiert ist"

also ich verstehe einfach nicht wie man das rechnen muss

das ist jetzt das einzige problem^^

und dann hast du
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM_2}+x\overrightarrow{(M_1M_2)_0}=\begin{pmatrix} 4 \\-6 \\0 \end{pmatrix} +\frac{14}{3}\cdot\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2\\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4+\frac{4}{3} \\-6-4 \\ 0-2\end{pmatrix} \to P(\frac{16}{3}/-10/-2) \end{eqnarray*}$

werner

14.02.2007, 19:21

chiculata

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TAUSEND DANK!

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