Anwendung Mittelwertsatz: Ableitung gleich Null |
| 18.12.2012, 22:14 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Anwendung Mittelwertsatz: Ableitung gleich Null Für eine Funktion f: [a,b] -> IR wobei f stetig und differenzierbar auf (a,b) soll gezeigt werden, dass aus f' = 0 folgt, dass die Funktion konstant ist. Als Tipp soll man das mit dem Mittelwertsatz beweisen. Das würde ich so machen: - f' = 0 bedeutet, dass f'(z) = 0 für alle z in (a,b) - Aber dann kann ich kann ich für ein beliebiges Intervall mit behaupten dass es ein z gibt so dass: was ich dann so umformen kann, dass ich habe: f(y) = f(x), und weil ich die Intervalle beliebig klein machen kann, gilt für jeden Punkt in (a,b): f(y) = f(x) mit x,y aus (a,b). Stimmen meine Gedankengänge? Darf ich überhaupt mal den Nenner des Bruches rechnen obwohl links davon nur Null steht? "Verliere" ich keine Informationen dadurch? Danke |
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| 18.12.2012, 22:48 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Anwendung Mittelwertsatz: Ableitung gleich Null Probier mal lieber einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, wäre nicht konstant... |
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| 18.12.2012, 23:58 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, Widerspruchsbeweis scheint einfacher zu sein: Annahme die Funktion f ist nicht konstant. D.h. es gibt x,y in (a,b) so dass f(x) != f(y). Nun gilt mit dem Mittelwertsatz (da f stetig, diffbar in [a,b] kompakt ist): Es gibt ein w in (a,b) so dass: f'(w) = f(y)-f(x)/y-x. Aber f'(w) = 0 für alle w in (a,b) also f(y) = f(x) - Widerspruch! So etwa? Lag ich echt so daneben mit meinem Ansatz? Gruss |
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| 19.12.2012, 06:35 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der erste Ansatz schien auf das gleiche hinaus zu wollen; war aber recht wirr aufgeschrieben. |
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