Einfache Gruppen

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Gulf Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache Gruppen
Meine Frage:
Gibt es eine schicke Möglichkeit zu zeigen, dass, wenn eine einfache Gruppe mit , die Gruppe zyklisch ist und Primzahlordnung besitzt?


Meine Ideen:
Also ich hab es schon bewiesen. Das Problem ist bloß, dass ich alle möglichen allgemeinen Primfaktorzerlegungen, die bis 60 auftauchen, durchgegangen bin und dann ein bisschen mit Sylow und G-Mengen rumhantiert habe. Alles im allen bin ich dann insgesamt auf 4 Seiten gekommen. Dieses Resultat ist leider nur befriedigend, womit sich meine Frage ergibt.
Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank schon einmal für jegliche Überlegungen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfache Gruppen
Hallo Gulf,

Einfach die Klassifikation zitieren! Big Laugh

Im Ernst: Der Beweis auf Deine Weise mag zwar aufwendig sein, aber er ist elementar. Mit Burnsides -Lemma wäre der Beweis zwar ein Einzeiler, aber um dieses zu beweisen benötigt man auch ein Semester Darstellungstheorie als Voraussetzung. Dagegen kann man Dein Resultat nach ein paar Wochen Gruppentheorie I schon beweisen und das ist wirklich erstaunlich, denn normalerweise sagt die Gruppenordnung recht wenig über die Struktur einer Gruppe aus.

Ich würde zuerst ein paar Hilfsätze sammeln, mit denen man möglichst viel ausschließen kann:
- Gruppen der Ordnung für sind nicht einfach
- Gruppen der Ordnung mit prim sind nicht einfach
evtl noch:
- Gruppen der Ordnung mit ungerade sind nicht einfach. Siehe: echter Normalteiler

Dann bleiben noch 12,20,24,28,36,40,44,45,48,52,56 übrig (ohne Gewähr!) und die geht man der Reihe nach durch.

Gruß
Reksilat
 
 
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte sich erst mal auf den Fall abelscher Gruppen beschränken. Eine endliche abelsche Gruppe ist nach dem Satz über endlich erzeugte abelsche Gruppen isomorph zu einer direkten Summe von zyklischen Gruppen:


Wenn diese direkte Summe jetzt aus mindestens zwei Summanden bestehen würde, wäre eine Untergruppe und somit auch Normalteiler (weil G abelsch ist), der nicht trivial ist. G wäre also nicht einfach. Daraus folgt, dass G zyklisch ist, also nur "direkte Summe" mit einem Summanden ist.


EDIT:Wenn jetzt r keine Primzahl ist, dann gibt es für jeden Primteiler p von r ein Element a mit der Ordnung p, und die von a erzeugte Gruppe ist eine nichttriviale echte Untergruppe und somit auch Normalteiler. G wäre also nicht einfach.

Somit folgt die Behauptung.

Das heißt, man muss nur noch den Fall nicht-abelscher Gruppen (bis Ordnung 59) prüfen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TommyAngelo
Das heißt, man muss nur noch den Fall nicht-abelscher Gruppen (bis Ordnung 59) prüfen.

Naja, erstens ist der Fall der endlichen einfachen Gruppen G, welche abelsch sind, so trivial, dass er höchstens einen Nebensatz wert ist, zweitens fährst du da mit Bombengeschützen auf, wie den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen auf, wo eine einfache Steinschleuder schon ausreichen würde, um den Fall zu erledigen... geschockt

Ist nämlich G zyklisch und a erzeugendes Element, so kann |G| nicht zusammengesetzt sein, denn für jeden nichtrivialen Teiler k von |G| wäre dann ein nichttrivialer Normalteiler... Also muss |G| entweder prim oder 1 sein, in welchem Fall G tatsächlich einfach ist... Ist aber G nicht zyklisch, so ist überhaupt für jedes ein nichttrivialer Normalteiler von G, wenn e das Einselement von G bezeichnet, und daher nicht einfach...
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Ist aber G nicht zyklisch, so ist überhaupt für jedes ein nichttrivialer Normalteiler von G, wenn e das Einselement von G bezeichnet, und daher nicht einfach...

Stimmt. Das geht viel schneller als mit dem Bombengeschütz Big Laugh

Die Hauptarbeit liegt hier natürlich beim Fall nichtabelscher Gruppen (bis Ordnung 59).
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