Umkehrfunktion von Sinh Beweis

18.12.2012, 22:54	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion von Sinh Beweis Moin, ich soll die Umkehrfunktion von Sinh bestimmen. dabei komme ich schon am Anfang bei folgender Umformung am Anfang nicht weiter (Anhang) Freu mich über jede Hilfe! Grüße Nickel
18.12.2012, 23:09	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich bin kein Student, aber wenn es dir lediglich um die Umkehrfunktion geht, dann hilft es dir höchstwahrscheinlich einfach mal das $\begin{eqnarray} e^x=a \end{eqnarray}$ zu substituieren und erstmal normal nach a aufzulösen. Dies sollte dich zu einer quadratischen Funktion führen, welche du mit der pq-Formel weiter bearbeiten kannst. Am Ende dann noch rücksubstituieren und den natürlichen Logarithmus anwenden. Ob das der gewünschte Weg ist, wäre natürlich die andere Frage. Wie gesagt bin kein Student, aber vielleicht hilft dir dieser Gedankenanstoß. Ansonsten einfach ignorieren. Damit verabschiede ich mich auch wieder direkt.
18.12.2012, 23:18	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, der Gedanke um die Umkehrfunktion zu bestimmen ist der folgende. $\begin{eqnarray} y=sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \end{eqnarray}$ Nun musst du noch die Variable tauschen: $\begin{eqnarray} x=\frac{e^y-e^{-y}}{2} \end{eqnarray}$ und jetzt nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auflösen. Also: $\begin{eqnarray} 2x=e^y-e^{-y} \end{eqnarray}$ Nun mit einer passenden Substitution an's Werk, wie bereits vorgeschlagen.
18.12.2012, 23:23	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
ok cool Danke (Y)
18.12.2012, 23:32	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du einen kleinen Fehler bei der pq-Formel gemacht. Diese lautet ja $\begin{eqnarray} x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\dotso} \end{eqnarray}$ Augenmerk auf das negative Vorzeichen, womit das y im Endeffekt positiv wird. Dann gilt es nur noch das Problem mit den zwei potentiellen Umkehrfunktionen. Den wie uns der Highlander-Film lehrte, kann es nur eine geben. Du solltest auf jeden Fall aber noch die Meinung waschechter Studenten abwarten. Gute Nacht.
18.12.2012, 23:35	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube da hat sich ein Fehler eingeschlichen. $\begin{eqnarray} a^2-2xa-1=0 \end{eqnarray}$ gilt zu lösen. $\begin{eqnarray} a_{1,2}=-\frac{-2x}{2}\pm\sqrt{\frac{(2x)^2}{4}+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{1,2}=x\pm\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray}$ Da nun $\begin{eqnarray} e^y>0 \end{eqnarray}$ gilt, wird nur die positive Lösung betrachtet. Also: $\begin{eqnarray} a=x+\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray}$ Jetzt rücksubstituieren und nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auflösen.
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