Kombinatorik 16 Felder färben, jeder Zug blockiert Felder

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ronron Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik 16 Felder färben, jeder Zug blockiert Felder
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

vorweg, ich habe wirklich tonnenweise Material, Skripte, Bücher und und und durchgelses, aber ich verstehe es einfach nicht. Selbst die Lösungen für die ersten drei Teilaufaben habe ich bereits online (auch hier im Forum) gefunden, aber die helfen mir nicht, da sie keine Erklärungen enthalten, die mir helfen.

Folgende Aufgabe wurde mir, neben einigen anderen, gestellt:

Auf wieviele unterscheidbare Arten kann man ein 4x4-Brett färben, wenn
a) Jedes Feld nach freier Wahl schwarz oder weiß gefärbt werden kann?
b) 8 Felder schwarz und 8 Felder weiß gefärbt werden?
c) 2 Felder weiß, 4 schwarz und 10 rot gefärbt werden?
d) 4 der Felder schwarz und die restlichen weiß gefärbt werden, so dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein schwarzes Feld auftritt? (Hier der Hinweis vom Dozenten, dass jedes schwarze Kästchen dabei praktisch die Reihen [vertikal und horizontal] in denen es sich befindet "blockiert")
Geben Sie zu jeder Fragestellung ein geeignetes Urnenmodell an, welches den Ausgang des Experiments beschreibt.

Das Urnenmodell ergibt sich mir einfach nicht.

Vielen Dank für eure Hilfe vorweg.

lG ronron

Meine Ideen:
zu b.
Ich durchblicke das Urnenmodell einfach nicht, nehmen wir z.b. Aufgabe b. Ich würde sagen, dass ich eine Urne mit 16 Kugeln habe, 8 weiße, 8 schwarze und dann ohne zurücklegen ziehe. Das ergibt aber weder mit, noch ohne Berücksichtigung der Reihenfolge einen Sinn. Da eben mit 16 über 16 nichts anzufangen ist.
Die richtige Lösung ist wohl 16 über 8, aber warum? Wie muss denn da die Urne aufgebaut sein, dass ich auf die Antwort komme?

zu d.
Ich habe jetzt einfach mal von Beispielen ausgehend ohne wirkliches Verständnis geraten und würde sagen:

(16 über 4) mal (9 über 3) mal (4 über 2) mal (1 über 1) = 76440

Dabei dachte ich, dass ich beim ersten Zug 16 Felder habe und vier schwarze Kugeln, beim zweiten Zug werden aber durch das schwarze Kästchen und die dadurch "blockierten" Reihen 7 Felder blockiert, es bleiben nur noch 9 Felder und 3 Kugeln, im nächsten Zug fallen dann weitere 5 Felder weg, es bleiben 4 Felder und 2 Kugeln, im letzten Zug sind dann alle Felder bis auf eines blockiert.
ronron Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, sehe gerade meinen Denkfehler.

(16 über 1) mal (9 über 1) mal (4 über 1) = 216

Das Urnenmodell verstehe ich damit auch, da ist dann nach 3 Tagen des Versuchens endlich ein sehr rostiges Klick erklungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein: Weiße Kugeln sind untereinander ununterscheidbar, schwarze ebenso. Die 16 Felder sind aber ihrer Position nach sehr wohl unterscheidbar, also ist es viel passender, wenn man 16 unterscheidbare Kugeln in der Urne hat (z.B. mit den Nummern 1..16). Aus denen zieht man dann 8 Kugeln ohne Zurücklegen, und diese 8 färbt man weiß - die restlichen, in der Urne
verbleibenden Kugeln färbt man entsprechend schwarz.

c) ist dann dieselbe Urne mit 1..16, aber "mehrstufigens" Ziehen, z.B. zunächst zwei Kugeln, die weiß dann gefärbt werden, es verbleiben noch 14 Kugeln in der Urne. Im nächsten Schritt werden nun aus diesen 14 Kugeln 4 Kugeln gezogen, die dann schwarz gefärbt werden; die übrig bleibenden 10 in der Urne werden dann weiß gefärbt.

Zu d)

Zitat:
Original von ronron
(16 über 1) mal (9 über 1) mal (4 über 1) = 216

Schon nicht schlecht, aber bei dieser Rechnung hast du die vier schwarzen Felder "numeriert": So zählst du z.B. die Wahl von

(1,2) (2,4) (3,1) (4,3)

sowie

(2,4) (4,3) (3,1) (1,2)

als zwei verschiedene Auswahlen, es sind aber dieselben vier Felder in beiden Auswahlen, d.h., das sollte nur einmal gezählt werden. Außerdem hast du dich beim Produkt verrechnet...
ronron Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Gut, damit bestätigst du, dass ich das mit den Urnen letztendlich durchblickt habe.

Zu d.)

Hm... oh je... was habe ich denn da in den Tschenrechner eingetippt.

Also, das richtige Ergebnis der Multiplikation wäre 576, wenn ich davon 4! abziehe, habe ich dann die Möglichen Dopplungen raus?

lG, ronron
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Unter "abziehen" versteht man üblicherweise "subtrahieren". Das ist hier aber gewiss nicht die passende Korrekturoperation. unglücklich
ronron Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, wenn ich von einer Urne mit vier Kugeln ausgehe, aus der ich in jeder Zeile eine Kugel ziehe, ohne eine zurückzulegen.

Dann entspräche die erste Zeile (4 über 1) = 4, die zweite Zeile wäre dann (3 über 1)=3 und die dritte (2 über 1)=2. Multipliziert ergäbe das dann 24 Mögichkeiten, womit ich mit meiner 576 himmelweit daneben gelegen hätte...

Ich will wirklich keine Raterunde draus machen, aber beim völlig neubetrachten, war das für mich die einzige Möglichkeit die noch geblieben ist.

lG, Ron
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist dann auch richtig. Freude

Mit deinem ersten Rechenweg geht es auch, aber eben nicht mit der Korrektur "abziehen=subtrahieren", sondern "dividieren":

Bei deinen 576 Varianten wird jede Variante genau -mal gezählt, wovon ohne Berücksichtigung der Reihenfolge nur noch übrig bleiben.
ronron Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank HAL 9000! Mit Zunge (Der Nick ist übrigens klasse, ich muss mir unbedingt mal wieder 2001 ansehen.)

Tschau Wink
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