Komplexe Exponentialfunktion

19.12.2012, 09:29	cube21	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Exponentialfunktion Guten Tag, Ich habe folgende Aufgabe: Gegeben Sei die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnen sie $\begin{eqnarray} A^{2},A^{3},A^{4} \end{eqnarray}$ . Existiert ein Zusammenhang zur komplexen Exponentialfunktion exp(A)? Die 1. Teilaufgabe war ja einfach zu lösen durch bis $\begin{eqnarray} A^{4} =\begin{pmatrix} i^{4} & 0 \\ 0 & i^{4} \end{pmatrix} bzw. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ im komplexen Bereich, aber welchen Zusammenhang sollen wir zur Exponentialfunktion erkennen bzw. existiert einer ? Wir haben im Skript eine Gleichung zur komplexen Exponentialfunktion: $\begin{eqnarray} e^{i\alpha } = \cos(\alpha ) + i \sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$ . Kann man diese irgendwie verwenden oder gibt es da andere Möglichkeiten? Ich bedanke mich für Hilfe. Mfg.
19.12.2012, 10:19	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Exponentialfunktion Für welche $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ beschreibt $\begin{eqnarray} e^{i\alpha } = \cos(\alpha ) + i \sin(\alpha ) \end{eqnarray}$ die Koeffizienten von $\begin{eqnarray} A^n \end{eqnarray}$ auch wenn $\begin{eqnarray} e^{i\alpha } \end{eqnarray}$ nur zwei Terme (Realteil und Imaginärteil) enthält; In $\begin{eqnarray} A^{n } \end{eqnarray}$ gibt es ebenfalls nur zwei verschiedene Terme. Daraus folgt mit $\begin{eqnarray} e^{i\alpha } = \cos(\alpha ) + i * \sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$ können alle Potenzen von A berechnet werden.

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