Invertierbare Elemente

19.12.2012, 15:01

Mathemäuschen65

Invertierbare Elemente

Meine Frage:
Ich habe mit folgender Aufgabe ein Problem:
Bestimmen Sie alle invertierbaren Elemente (bzgl. der Multiplikation!!!) in Z/63Z.

Könnt ihr mir dabei helfen?

Meine Ideen:
Es würde theoretisch mit einer Verknüpfungstabelle gehen, aber nicht mit 63. In der Vorlesung haben wir den Hinweis zum euklidischen Algorithmus bzw. der linearen diophantischen Gleichung bekommen, ich kann den Hinweis aber beim besten Willen nicht auf die Aufgabe anwenden.

19.12.2012, 15:37

Baby seal

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Vielleicht habt ihr folgende Aussage schon bewiesen:
(ansonsten kann man das schnell mittels eukl. Alg. beweisen.)

$\begin{eqnarray*} x \im \mathbb Z/ n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ invertierbar, gdw ggt (x,n)=1

Alternativ kann man auch mit dem chinesischen Restsatz argumentieren.

20.12.2012, 09:32

Mystic

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RE: Invertierbare Elemente

Zitat:

Original von Mathemäuschen65
In der Vorlesung haben wir den Hinweis zum euklidischen Algorithmus bzw. der linearen diophantischen Gleichung bekommen, ich kann den Hinweis aber beim besten Willen nicht auf die Aufgabe anwenden.

Ja, es geht hier tatsächlich um die lineare Kongruenz

$\begin{eqnarray*} ax \equiv 1 \mod 63 \end{eqnarray*}$

welche man auch als lineare diophantische Gleichung

$\begin{eqnarray*} ax+63y=1 \end{eqnarray*}$

deuten kann...

20.12.2012, 11:54

RavenOnJ

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Du kannst in deiner Suche schon mal alle $\begin{align*} a \end{align*}$ weglassen mit $\begin{align*} ggT(a, 63)\ne 1 \end{align*}$ , d.h. alle $\begin{align*} a \end{align*}$ , die durch 3 oder durch 7 teilbar sind. Denn, sei $\begin{align*} b\mid 63 ,b\mid a, b\ne 1 \end{align*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} a = bz \Rightarrow ax+63y = bzx + b\frac{63}{b}y = b(\underbrace{zx + \frac{63}{y} }_{\in \mathbb{Z}}) = 1 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{align*} b\ne 1 \end{align*}$ nach Voraussetzung, ergibt sich ein Widerspruch, d.h. es gibt kein ganzzahliges Paar $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ , das die Gleichung erfüllt, wenn $\begin{align*} ggT(a, 63)\ne 1 \end{align*}$ .

04.01.2013, 10:04

MaxMathe

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Das hieße dann, dass alle Elemente in $\begin{eqnarray*} R_{63} \end{eqnarray*}$ invertierbar sind, da ja nach Definition gillt:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \overline{a}\ aus \ R_{m}\ sind\ genau\ dann\ multiplikativ\ invertierbar\ wenn\ ggT(a,m)=1. \end{eqnarray*}$

Liege ich da richtig?

Also gilt beispielsweise für alle invertierbaren Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/21\mathbb Z: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} invertierbare\ Elemente\ \overline{a},\ fuer\ die\ gilt: ggT(a,21)=1.\ Das\ waeren\ dann:\overline{1}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{8}, \overline{10}, \overline{11}, \overline{13}, \overline{16}, \overline{17}, \overline{19}, \overline{20}. \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 10:14

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MaxMathe
Also gilt beispielsweise für alle invertierbaren Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/21\mathbb Z: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} invertierbare\ Elemente\ \overline{a},\ fuer\ die\ gilt: ggT(a,21)=1.\ Das\ waeren\ dann:\overline{1}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{8}, \overline{10}, \overline{11}, \overline{13}, \overline{16}, \overline{17}, \overline{19}, \overline{20}. \end{eqnarray*}$

genau, das ist dann die Einheitengruppe des Rings $\begin{align*} \mathbb Z / 21\mathbb Z \end{align*}$ .

04.01.2013, 10:18

MaxMathe

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Super, dankeschön! Freude

04.01.2013, 10:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MaxMathe
Das hieße dann, dass alle Elemente in $\begin{eqnarray*} R_{63} \end{eqnarray*}$ invertierbar sind, da ja nach Definition gillt:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \overline{a}\ aus \ R_{m}\ sind\ genau\ dann\ multiplikativ\ invertierbar\ wenn\ ggT(a,m)=1. \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig, da es einige Zahlen $\begin{align*} \overline{a} \end{align*}$ in $\begin{align*} \mathbb Z/63\mathbb Z \end{align*}$ gibt, deren $\begin{align*} ggT(a,63)\ne 1 \end{align*}$ ist.

04.01.2013, 10:50

MaxMathe

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Ja, das ist mir auch schon aufgefallen, ich war aus irgendeinem unerfindlichen Grund der Meinung, dass 63 eine Primzahl ist Hammer

04.01.2013, 11:45

MaxMathe

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Aber eine (formale) Frage hätte ich noch:

Wie kann ich diese invertierbaren Elemente "vernünftig" darstellen? Ich kann ja z.B. bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/49 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ schlecht alle Elemente mit ggT(a,49)=1 angeben. das wären dann ja immerhin 43 Elemente... Gibt es da eine vereinfachende Schreibweise, wie ich die Zahlen ohne die Vielfachen von 7 darstellen kann? z.B.:

$\begin{eqnarray*} invertierbare\ Elemente\ in \ \mathbb Z/49 \mathbb Z: R_{49}\setminus \left\{n\times 7|n\in \left\{1,2,...,7\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 15:38

RavenOnJ

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wie wär's mit

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/49\mathbb Z\setminus \{n\in \mathbb N, 0\le n< 49\;|\; ggT(n,49) \ne 1\} \end{eqnarray*}$

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