Beweis Grenzwert

19.12.2012, 18:22

Lysis

Beweis Grenzwert

Meine Frage:
Hey,

ich bin mir bei dem Beweis von folgenden Grenzwert nicht ganz sicher.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3 } x^{3} = 27 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0, \delta = \frac{\varepsilon}{1} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 0<|x^{3} -1|<\delta = \frac{\varepsilon}{1} \end{eqnarray*}$
|f(x)-27|=|x³-27|*1< $\begin{eqnarray*} 1\frac{\varepsilon}{1}=\varepsilon \end{eqnarray*}$

20.12.2012, 08:33

klarsoweit

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RE: Beweis Grenzwert

Zitat:

Original von Lysis
$\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0, \delta = \frac{\varepsilon}{1} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 0<|x^{3} -1|<\delta = \frac{\varepsilon}{1} \end{eqnarray*}$

Hier muß es erstmal $\begin{eqnarray*} 0<|x - 3|<\delta = \frac{\varepsilon}{1} \end{eqnarray*}$ heißen.

Wie du dann daraus folgern willst, daß $\begin{eqnarray*} |x^3-27| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist, wird dann aber nicht klar.

21.12.2012, 08:32

Hellsing91

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@Lysis Es wäre sehr hilfreich, wenn du deine Idee genauer schildern würdest.

Zitat:

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0, \delta = \frac{\varepsilon}{1} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 0<|x^{3} -1|<\delta = \frac{\varepsilon}{1} \end{eqnarray*}$
|f(x)-27|=|x³-27|*1< $\begin{eqnarray*} 1\frac{\varepsilon}{1}=\varepsilon \end{eqnarray*}$

Das ist doch sehr unübersichtilich.
Was genau hast du dir hier überlegt ?

Ich schätze mal du wolltes zeigen, dass die Funktion an der Stelle 3 Stetig ist, denn dann würde gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3 } f(x) = f(\lim_{x \to 3}x)=f(3) \end{eqnarray*}$

Wir zeigen also, dass:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \to x^3 \end{eqnarray*}$

stetig ist.

Also haben wir z.z:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 \forall a\in \mathbb R: |x-3|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|< \varepsilon \end{eqnarray*}$

Also legen wir los:

$\begin{eqnarray*} |x^3-a^3| \Leftrightarrow |x-a||x^2+xa+a^2| < \delta |x^2+xa+a^2| \end{eqnarray*}$

Jetz musst du nur noch:

$\begin{eqnarray*} |x^2+xa+a^2| \end{eqnarray*}$

Nach oben abschätzen und du hast gezeigt, dass deine Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist, also insbesondere in der 3.
Dann benutzt du noch das obige Argument um zu begründen, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3 } x^{3} = 27 \end{eqnarray*}$

gilt und du bist fertig.

Mfg. Hellsing Wink

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