Grenzwert einer Variante der geometrischen Reihe

19.12.2012, 17:26

bZerk

Grenzwert einer Variante der geometrischen Reihe

Meine Frage:
Guten Abend zusammen!

Ich habe auf einem meiner Übungsblätter eine Aufgabe, die mir einfach keine Ruhe lässt. Gegeben ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n n x^{n} \end{eqnarray*}$ mit |q| < 1. Ich soll nun den Grenzwert dieser Reihe bestimmten. Ich habe das ein oder andere mal im Internet gesehen, dass das mit Integralen gezeigt wird, da wir das aber in den Vorlesungen noch nicht gemacht haben, dürfen wir das auch nicht benutzen. Unser Prof hat uns heute einen Denkanstoß gegeben den ich im Folgenden erläutern werde.

Meine Ideen:
Er hat uns gesagt, dass wir die Reihe einfach mal mit $\begin{eqnarray*} (1-q) \end{eqnarray*}$ multiplizieren sollen, und das habe ich auch gemacht:

$\begin{eqnarray*} (1-q) \cdot \sum\limits_{k=1}^n n x^{n} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (q + 2q^{2} + 3q^{3} ... + nq^{n}) - (q^{2} + 2q^{3} ... + (n-1)q^{n} + nq^{n+1}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (q + q^{2} + q^{3} ... + q^{n}) - nq^{n+1} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} - nq^{n+1} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, und das was in der Klammer steht die geometrische Reihe, sprich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n q^{n} \end{eqnarray*}$

Den Grenzwert der geometrischen Reihe hatten wir bereits in der Vorlesung, dürfen ihn also verwenden, und dieser ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Also habe ich aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} (1-q) \cdot \sum\limits_{k=1}^n n x^{n} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

habe danach durch $\begin{eqnarray*} (1-q) \end{eqnarray*}$ geteilt und erhalte somit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n n x^{n} = \frac{1}{(1-q)^{2}} \end{eqnarray*}$

Das Problem jetzt: Ich weiß, dass das Ergebnis falsch ist, und dass das richtige Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{q}{(1-q)^{2}} \end{eqnarray*}$ lautet, nur habe ich keine Schimmer wo mein Fehler liegt.

Für einen kleine Tipp (oder auch einen großen Augenzwinkern

) wäre ich sehr dankbar!

Gruß bZerk

19.12.2012, 17:37

Pik 7

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n q^{n} = \frac{1}{1 - q} \end{eqnarray*}$

Deine Summe beginnt aber erst bei 1 zu laufen. Da fehlt doch irgendwas, oder? Big Laugh

19.12.2012, 17:40

Pik 7

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ehem ... kleine Korrektur ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} = \frac{1}{1 - q} \end{eqnarray*}$

19.12.2012, 17:48

bZerk

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Zitat:

Original von Pik 7
Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n q^{n} = \frac{1}{1 - q} \end{eqnarray*}$

Deine Summe beginnt aber erst bei 1 zu laufen. Da fehlt doch irgendwas, oder? Big Laugh

also in meinen Aufzeichnungen ist die Reihe auch bei 1 gestartet, ich geh also davon aus, dass ich etwas falsch abgeschrieben habe?

Es fehlt also noch $\begin{eqnarray*} q^{0} \end{eqnarray*}$ sprich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

19.12.2012, 18:02

bZerk

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Ok ich glaub jetzt hab ichs!

Die Summe

$\begin{eqnarray*} q^{1} + q^{2} + ... + q^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n q^{n} - q^{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1-q} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1-q} - \frac{1-q}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1-(1-q)}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$

Also folgt:

$\begin{eqnarray*} (1-q) \cdot \sum\limits_{k=1}^n nq^{n} = \frac{q}{1-q} <br /> <br /> \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^n nq^{n} = \frac{q}{(1-q)^{2}} \end{eqnarray*}$

19.12.2012, 18:48

Jello Biafra

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Zitat:

Original von bZerk
$\begin{eqnarray*} (1-q) \cdot \sum\limits_{k=1}^n nq^{n} = \frac{q}{1-q} <br /> <br /> \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^n nq^{n} = \frac{q}{(1-q)^{2}} \end{eqnarray*}$

Auch wenn ein am Ende richtiges Ergebnis rauskommt so zeichnen sich Deine Aufzeichnungen doch durch einen recht sorglosen Umgang mit Grenzwerten aus.
Dementsprechend ist das Ganze so wie's da oben steht auch falsch.

Zunächst hast Du ja richtig festgestellt:

$\begin{eqnarray*} (1-x)\sum_{k=1}^n kx^k=\sum_{k=1}^n x^k-nx^{n+1}. \end{eqnarray*}$

Und wegen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty x^k=\frac x{1-x} \end{eqnarray*}$

liefert der Grenzübergang in obiger Identität nun:

$\begin{eqnarray*} (1-x)\sum_{k=1}^\infty kx^k=\sum_{k=1}^\infty x^k=\frac x{1-x} \end{eqnarray*}$

und somit das gewünschte Ergebnis.

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