doppelreihen berechnen

19.12.2012, 20:04

Studentu

doppelreihen berechnen

Meine Frage:
ich hab hier eine theoretische frage:

wenn ich eine doppelreihe hab $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^\infty ( \sum\limits_{k=1}^(i-1) (a_{k} *b_{i-k} ) \end{eqnarray*}$ (wobei das (i-1) oberhalb des summenzeichens stehen soll), ist dann beim berechnen vorher die innere oder die äußere laufvariable fix?

Meine Ideen:
Ich mein also, schaut die Reihe aus:

a1b1 + a2b1 + a3b1 + .... + a1b2 + a2b2 + a3b2 +...

oder

a1b1 + a1b2 + a1b3 + ... + a2b1 + a2b2 + a2b3 + ...

???

Danke für eure Hilfe

19.12.2012, 20:19

HAL 9000

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Das ist gar keine Doppelreihe, denn die innere Summe (die über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) ist für jeden äußeren Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ nur eine Summe mit endlich vielen Gliedern.

Es ist also schlicht $\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^{\infty} c_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_i := \sum_{k=1}^{i-1} a_k b_{i-k} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Vielleicht kannst du ja auch noch konkreter werden, offensichtlich ist das eine Cauchyreihe...

19.12.2012, 20:59

Studentu

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hey danke, das hab ich jetzt verstanden.

aber könntest du vlt. ein bsp. für eine doppelreihe bringen und dann, wie die aufsummiert wird.
dies spielt bei umordnungen ja doch eine wesentliche rolle verwirrt

19.12.2012, 21:19

HAL 9000

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Da gibt es keine Regel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} a_{ik} \end{eqnarray*}$

ist nur dann erklärt, wenn für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ der "Summand" $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_{ik} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und alle diese Grenzwerte bilden dann die Reihenglieder der äußeren Summation. Punkt.

Natürlich gibt es nun ein paar hinreichende Kriterien, die ein Durcheinanderwürfeln der Summationsreihenfolge zulassen: Zuallererst wäre da Nichtnegativität aller Summanden $\begin{eqnarray*} a_{ik} \end{eqnarray*}$ zu nennen, denn dann konvergiert entweder die Reihe gleich absolut, oder sie divergiert bestimmt gegen unendlich. In beiden Fällen ändert eine Änderung der Summationsreihenfolge nichts am Ergebnis.

19.12.2012, 21:29

Studentu

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Ist deine Reihe also
$\begin{eqnarray*} a_{11} + a_{12} + a_{13} + ... + a_{21} + a_{22} + a_{23} + ... \end{eqnarray*}$ ?

19.12.2012, 21:50

Studentu

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falls mein letzter beitrag nicht stimmt: wie sieht denn die grenzwertberechnung der inneren folge aus? (da hab ich ja das i, das erst beim äußeren summenzeichen steht, auch drin. was für werte haben da k und i dann jeweils? (k ist klar: geht von 1 bis unendlich, aber welche werte hat i, während k von 1 bis unendlich läuft?))

19.12.2012, 21:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
$\begin{eqnarray*} a_{11} + a_{12} + a_{13} + ... + a_{21} + a_{22} + a_{23} + ... \end{eqnarray*}$ ?

Das ist eigentlich Unsinn: Wie soll man mit mehreren "Pünktchen" zwischendurch sukzessive summieren?

Ich wiederhole es nochmal: Es gibt bei einer echten Doppelreihe keine Summationsreihenfolge im eigentlichen Sinne.

19.12.2012, 21:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
falls mein letzter beitrag nicht stimmt: wie sieht denn die grenzwertberechnung der inneren folge aus?

Was erwartest du: Eine allgemeine Regel, wie man den Grenzwert einer beliebigen konvergenten Reihe berechnet? Kann ich dir nicht bieten. Wird vielleicht Zeit, dass du mal zu einem konkreteren Beispiel übergehst.

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