exponentielles Wachstum. |
| 19.12.2012, 20:13 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| exponentielles Wachstum. In einer ( Schulaufgabe ) gibt man das momentane Wachstum mit 80 Mio/ Jahr an. Für mich ist das die Ableitung des Bestandes der Bevölkerung, also 1.) es gibt aber auch die Meinung, dass 2. ) ist. Gut, der Unterschied ist gering. Begründung für 1.): Wenn ich zum Bäcker mit 50 km/h fahre, dann fahre ich nicht unbedingt 50 km. Frage: Was ist die "akzeptierte" Schulinterpretation ? |
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| 19.12.2012, 22:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur (1) ist richtig, aber bei deiner Schreibweise auch nur bedingt. Denn das momentane Wachstum ist die Änderungsgeschwindigkeit zu (an) einem bestimmten Zeitpunkt (einige Tage später oder früher könnte sie wieder anders sein). Deswegen ergibt die Umrechnung vom Jahr auf Tage bestenfalls einen Mittelwert. Bei der 1. Ableitung darf daher die Einheit der unabhängigen Variablen (hier: Zeiteinheit) nicht geändert werden, weil diese ja in die gegebene Wachstumsfunktion einfließt. (2) Hier handelt es sich bei den 80 Mio um den Bestandszuwachs nach der Zeit 1, das ist nicht gleichbedeutend mit der momentanen Änderungsrate. Vielmehr ist es hier der Differenzenquotient [B(1) - B(0)] / [t1 - t0], wobei der Nenner (der Zeitunterschied) gerade eine Einheit beträgt. Das ergibt sich sofort nach Umstellung der Gleichung in (2). Also wird damit eine mittlere Änderungsrate definiert. mY+ |
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| 19.12.2012, 23:38 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gut , zumindestens 1.) scheint angemessen. Trotzdem : der Wert einer Ableitung zu einem fixen Zeitpunkt hängt nicht von den gewählten Masseinheiten ab. Aber irgendwie willst du mir das gerade einreden. 
also: sagt nichts darüber aus, welchen Zuwachs wir in einem Jahr respektive in einem Tag zu erwarten haben. Wobei letztere Angabe im Sinne der linearen Approximation bestimmt besser ist. Verstehst du, was ich meine ? |
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| 20.12.2012, 00:40 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich will dir gar nichts einreden. Du kannst es akzeptieren oder nicht. Oder mir einen eventuellen Irrtum meinerseits nachweisen. Deine Frage betraf die momentane Änderung und nicht die Approximation. Wie schon erwähnt, sind die Wachstumsfunktionen für die Zeiteinheit Jahre und Tage verschieden (sie enthalten verschiedene Wachstumskonstanten), demgemäß auch ihre Ableitungen. Die Division 80 000 000 / 365 für die Änderungsrate in einem Tag des Jahres würde ein lineares Wachstum voraussetzen. In Wirklichkeit liegt die Wachstumsrate (bei dem geometrischen Wachstum) pro Tag bei 80 000 000 ^ (1/365) = 1,05112 (Zuwachsrate 5,112%), das entspricht also einer momentanen Änderungsrate von 0,0524 E/d am 1. Tag, welche sich auf 1067 E/d nach 200 Tagen, 156100 E/d nach 300 Tagen, ... , auf bis zu ca. 4,0 Mio E/d am letzten Tag des Jahres erhöht hat. mY+ |
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| 20.12.2012, 01:16 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja gut, Überprüf mal deine Aussagen dahingehend, ob du aus der Ableitung B'(0) je nach Masseinheit im Nenner schliesst, welche Kurve vorliegt.
Für mich sind alle Kurven gleich. ... Weil die Tangentensteigung immer gleich ist. --------------------------------------- Was du andeutest sind wohl immer "engere" Sekanten bis morgen! Gruss Dopap |
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| 20.12.2012, 01:25 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich spreche nie von Sekanten, sondern immer nur von Tangenten. Selbstverständlich sind sie an bestimmten Punkten der Kurve gleich, egal, ob es sich um Tage oder Jahre handelt. Was ich meine, ist, dass man die momentane Änderungsrate an einem Tag nicht durch Division der momentanen Änderungsrate pro Jahr durch 365 ermitteln kann. mY+ |
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| 21.12.2012, 19:14 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, genau dieser Meinung bin ich. Steigung ist Steigung, unabhängig von der gewählten Masseinheit Momentan heisst für mich : zum Zeitpunkt t_0. Nicht eine Sekunde früher oder später. Allerdings hat der Sprachgebrauch - meiner Meinung nach - das "momentan" auch auf längere Zeitintervalle ausgedehnt. Und das führt zur Eingangsfrage zurück. |
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