Quersumme: Teilbar durch 3?

19.07.2004, 10:20

Steve_FL

Quersumme: Teilbar durch 3?

Hi an alle

Ich hab mir letztens mal gedanken darüber gemacht, wieso eine Zahl deren Quersumme durch 3 Teilbar ist, auch durch 3 Teilbar ist.

Beispiel:
81
QS: 9 -> 3 | 9
==> 3 | WS(81)
3 | 81

Wieso ist das so?
Kennt jemand den Beweis dazu?

Und wieso ist das nur im Dezimalsystem so und zum Beispiel nicht im Binärsystem?

mfg

19.07.2004, 10:26

Leopold

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Das ist einfach:

782 = 7·(99+1)+8·(9+1)+2 = (7·99+8·9) +(7+8+2)

Die erste Klammer ist eine Dreier-(Neuner-)Zahl. Damit ist die ganze Zahl eine Dreier-(Neuner-)Zahl, wenn 7+8+2 eine solche ist.

19.07.2004, 10:53

Irrlicht

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Hallo Steve,

Ich ergänze Leopolds Beispiel:
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} a = a_n....a_0 \end{eqnarray*}$ , wobei die a_i die Ziffern der Zahl a seien, kann man schreiben als
$\begin{eqnarray*} a = \sum_{i=0}^n a_i 10^i = 9 \cdot \sum_{i=1}^{n} a_{i} \underbrace{11 \ldots 1}_{\rm{i-mal}} + \underbrace{\sum_{i=0}^n a_i}_{\rm{Quersumme}} \end{eqnarray*}$

Ist die Quersumme der Zahl durch 3 oder durch 9 teilbar, so ist auch die Zahl durch 3 oder durch 9 teilbar. Ist umgekehrt die Zahl durch 3 oder durch 9 teilbar, so auch ihre Quersumme.

Im Dezimalsystem ist das wegen 10 = 9 + 1 so, 10^n - 1 ist durch 9 teilbar.

Lieben Gruss,
Irrlicht

19.07.2004, 11:40

Steve_FL

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oki

Danke euch beiden *g*

Mein Ansatz ging auch auf das zurück:
782 = 7*100 + 8 * 10 + 2
aber auf das Ausklammern und so, wär ich nicht drauf gekommen

mfg

19.07.2004, 12:51

flixgott

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ist die teilbarkeit durch sieben nicht mit der alternierenden quersumme überprüfbar? wie liese sich denn dann das zeigen (soweit ich weiss gibt es so einen ähnliche regel auch noch für die 11)

19.07.2004, 13:20

SirJective

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Hallo flixgott,

für die Teilbarkeit durch 11 gibt es die Regel mit der alternierenden Quersumme.
Für die Teilbarkeit durch 7 gibt es eine Regel, die mit einer gewichteten Quersumme arbeitet. Die Gewichte sind
..., -2, -3, -1, 2, 3, 1,
d.h. die Einerstelle wird mal 1 genommen, die Zehnerstelle mal 3, die Hunderterstelle mal 2, die Tausenderstelle mal -1, ...
Siehe dazu auch http://de.wikipedia.org/wiki/Quersumme

Für sehr große Zahlen ist es aber schon eine Erleichterung, die alternierende Quersumme zur Basis 1000 zu bilden, d.h. die Ziffern in Dreierblöcke einzuteilen (wie man es von der Darstellung großer Zahlen gewohnt ist) und diese Blöcke abwechselnd zu addieren und zu subtrahieren. Diese Regel funktioniert, weil 1001 durch 7 teilbar ist.

Z.B. lässt
12 345 678 901
bei Division durch 7 denselben Rest wie
12 - 345 + 678 - 901 = -556
und das lässt denselben Rest wie
-556 + 1001 = 445.
Man muss nun also testen, welchen Rest 445 lässt.
Das kann man einfach durch eine Division mit Rest feststellen, oder man verwendet die gewichtete Quersumme (das hätte man natürlich auch gleich mit der großen Zahl tun können):
4*2 + 4*3 + 5*1 = 25,
und dass 25:7 = 3 Rest 4 ist, sieht man leicht.

Die Zahl 12.345.6778.901 lässt also bei Division durch 7 den Rest 4, ist insbesondere nicht durch 7 teilbar.

Gruss,
SirJective

19.07.2004, 22:01

peer

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Teilbarkeitsregeln
Hier noch ein allgemeiner Ansatz aus der Zahlentheorie für Interessierte:
Der Gag ist, daß man daraus schnell Teilbarkeitsregeln für beliebige Basen ablesen kann.

b = Basis, b > 1
d = Teiler
a = zu untersuchende Zahl
T(b) = Teilermenge von b, Beispiel b = 10 , T(10) = {1,2,5,10}
$\begin{eqnarray*} q_i \end{eqnarray*}$ = Ziffern von a
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n q_i \end{eqnarray*}$ = b-adische Quersumme von a
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n (-1)^i q_i \end{eqnarray*}$ = alternierende b-adische Quersumme

Endstellenregeln

1. Eine Zahl a ist genau dann durch ein d aus T(b) teilbar, wenn die letzte Stelle des Zahlenwortes durch d teilbar ist.

Die Regel kann man also wenn b =10 ist für 2,5,10 anwenden.
Für b = 5 hingegen nur für 5.

2. Eine Zahl a ist genau dann durch ein d aus $\begin{eqnarray*} T(b^2) \end{eqnarray*}$ teilbar, wenn
$\begin{eqnarray*} q_1 \cdot b + q_0 \end{eqnarray*}$ durch d teilbar ist.

Im Dezimalsystem kann man dies für 2,4,5,10,20,25,50 und 100 verwenden.

3. Eine Zahl a ist genau dann durch ein Element d von $\begin{eqnarray*} T(b^3) \end{eqnarray*}$ teilbar, wenn d teilt $\begin{eqnarray*} q_2b^2+q_1b+q_0 \end{eqnarray*}$ .

Dies liefert im Dezimalsystem Teilbarkeitsregeln für 1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,125,200,250,500 und 1000.

Man kann dies für höhere Potenzen der Basis weiter verallgemeinern.

Quersummenregeln

Sei jetzt $\begin{eqnarray*} d \in T(b-1) \end{eqnarray*}$ .

1. Eine Zahl a ist genau dann durch ein Element d der Menge T(b-1) teilbar, wenn d die b-adische Quersumme von a teilt.

Liefert im Dezimalsystem Teilbarkeitsregeln für 3 und 9.

Sei jetzt $\begin{eqnarray*} d \in T(b^2-1) \end{eqnarray*}$ .

2. Eine Zahl a ist genau dann durch ein Element d der Menge T(b^2-1) teilbar, wenn d die b-adische Quersumme 2. Ordnung von a teilt.

Bei der b-adischen Quersumme 2. Ordnung addiert man die durch die 1. und 2. bzw. 3. und 4. Ziffer usw. dargestellten Zahlen.

Liefert im Dezimalsystem Teilbarkeitsregeln für 11,33 und 99.
Auch hier kann man wieder für höhere Potenzen verallgemeinern.

alternierende Quersummenregeln

Sei jetzt $\begin{eqnarray*} d \in T(b+1) \end{eqnarray*}$ .

Eine Zahl a ist genau dann durch ein d aus der Menge T(b+1) teilbar, wenn d die alternierende b-adische Quersumme von a teilt.

Liefert Teilbarkeitsregeln
im Dezimalsystem für 11
im Stellenwertsystem mit der Basis b=7 z.B. für 2,4 und 8

Auch hier kann man wieder für höhere Potenzen verallgemeinern.

Es sei noch angemerkt das man diese Regeln auch kombinieren kann.

Quellen: Elementare Zahlentheorie (Kurs Fernuni Hagen)
HTB Elementare Zahlentheorie (begleitend sehr empfehlenswert)

08.01.2006, 19:01

Dual Space

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Sorry, dass ich so alte Kamellen wieder rauskrame, aber ich möchte die folgende Aussage beweisen (oder widerlegen, denke aber, dass sie wahr ist):
"Subtrahiert man von einer bel. natürlichen Zahl ihre Quersumme, so ist das Ergebnis stets durch 9 teilbar."

Der Thread kommt der Sache denke ich schon sehr nahe, aber ich verstehe die folgende Gleichung nicht.

Zitat:

Original von Irrlicht
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} a = a_n....a_0 \end{eqnarray*}$ , wobei die a_i die Ziffern der Zahl a seien, kann man schreiben als
$\begin{eqnarray*} a = \sum_{i=0}^n a_i 10^i = 9 \cdot \sum_{i=1}^{n} a_{i} \underbrace{11 \ldots 1}_{\rm{i-mal}} + \underbrace{\sum_{i=0}^n a_i}_{\rm{Quersumme}} \end{eqnarray*}$

Wie ist die erste der beiden Summen zu verstehen? Etwa $\begin{eqnarray*} a_1\cdot 1+a_2\cdot 11+\cdots \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Ich meine natürlich die erste der beiden Summen nach dem letzten Gleichheitszeichen.

Edit2: OK, hat sich erledigt. Hab's geschnallt ... man sollte halt erst denken und dann schreiben LOL Hammer

15.05.2012, 10:22

inge.soell

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Blödes Beispiel. 782 ist weder durch 9 noch durch 3 teilbar.

15.05.2012, 10:33

sulo

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Was soll daran blöd sein?

Es geht um die Methode zum Überprüfen, ob eine Zahl durch 3 (bzw. 9) teilbar ist.
Um diese Methode zu erläutern muss eine Zahl nicht zwingend durch 3 (bzw. 9) teilbar sein.

Im Gegenteil: Ich finde es sogar viel interessanter, wenn diese für das Beispiel gewählte Zahl gerade nicht durch 3 (bzw. 9) teilbar ist.

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