Konvergenz einer Reihe

20.12.2012, 17:22

bZerk

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Nabend zusammen!

Heute wende ich mich mit einer Aufgabe an euch bei der wirklich vollkommen auf dem Schlauch stehe, und auf ein paar gute Tipps hoffe smile

Die Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Reihe und $\begin{eqnarray*} 1 = k_{1} < k_{2} < ... < k_{m} < ... \end{eqnarray*}$ eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen. Definiere die Folge $\begin{eqnarray*} (A_{m}) \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} A_{m} := \sum\limits_{j=k_{m}}^{k_{m+1}-1} a_{j} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^\infty A_{m} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^\infty A_{m} = \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1) Mir bereitet die Folge $\begin{eqnarray*} (A_{m}) \end{eqnarray*}$ an sich schon große Probleme. Ich weiß nämlich noch nicht so richtig wie diese Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=k_{m}}^{k_{m+1}-1} a_{j} \end{eqnarray*}$ aussehen soll.

Sei beispielsweise $\begin{eqnarray*} m = 2 \end{eqnarray*}$ , sähe die Folge dann so aus:

$\begin{eqnarray*} A_{2} := \sum\limits_{j=k_{2}}^{k_{3}-1} a_{j} = a_{k_{2}} + a_{k_{3}-1} \end{eqnarray*}$ ? Und wäre $\begin{eqnarray*} a_{k_{3}-1} \end{eqnarray*}$ nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} a_{k_{2}} \end{eqnarray*}$ weil

$\begin{eqnarray*} 1 = k_{1} < k_{2} < ... < k_{m} < ... \end{eqnarray*}$ eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen ist?

2) Ich soll ja zeigen, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^\infty A_{m} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Wäre diese Reihe mit der obigen Definition von $\begin{eqnarray*} A_{m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^\infty \sum\limits_{j=k_{m}}^{k_{m+1}-1} a_{j} \end{eqnarray*}$ ?

3) Für die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^\infty A_{m} = \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ hab ich leider noch gar keine Idee unglücklich

Vielen Dank schon mal im Voraus smile

Gruß

bZerk

20.12.2012, 18:54

bZerk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe
Also ich bin jetzt so weit, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^\infty \sum\limits_{j=k_{m}}^{k_{m+1}-1} a_{j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a_{k_{1}} + a_{k_{2}-1} + a_{k_{2}} + a_{k_{3}-1} + a_{k_{3}} + a_{k_{4}-1} ... \end{eqnarray*}$

Jetzt bleibt weiterhin die Frage, ob
$\begin{eqnarray*} a_{k_{2}-1} = a_{k_{1}} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1 = k_{1} \end{eqnarray*}$

Wenn dem so wäre, dann käme ich am Ende auf

$\begin{eqnarray*} 2a_{k_{1}} + 2a_{k_{2}} + 2a_{k_{3}} ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} ... +2a_{n} \end{eqnarray*}$

Was allerdings $\begin{eqnarray*} \neq \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ ist.

Aber ich soll ja Gleichheit zeigen verwirrt

20.12.2012, 21:02

bZerk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe
Hat niemand einen Idee? Es ist ziemlich wichtig..

Mir gehts im moment eigentlich nur um das verhalten von

$\begin{eqnarray*} a_{k_{1}} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a_{k_{2}-1} \end{eqnarray*}$ , also ob das das gleiche ist?

20.12.2012, 21:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich kann man es sich viel einfacher machen:

Kennzeichnet $\begin{eqnarray*} s_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ die Partialsummen der Originalreihe, und $\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{k=1}^n A_k \end{eqnarray*}$ die der daraus definierten Reihe, dann sieht man sehr schnell den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} S_n = s_{k_{n+1}-1} \end{eqnarray*}$ , oder mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} (S_n) \end{eqnarray*}$ ist eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ ...

EDIT: Ich hab mir deine Überlegungen nochmal durchgelesen und stelle fest, dass du überhaupt nicht verstanden hast, was hier läuft: Es steht doch präzise da, wie die $\begin{eqnarray*} A_m \end{eqnarray*}$ definiert sind!

Zitat:

Original von bZerk
Sei beispielsweise $\begin{eqnarray*} m = 2 \end{eqnarray*}$ , sähe die Folge dann so aus:

$\begin{eqnarray*} A_{2} := \sum\limits_{j=k_{2}}^{k_{3}-1} a_{j} = a_{k_{2}} + a_{k_{3}-1} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn die Summe von $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} k_3-1 \end{eqnarray*}$ läuft, dann sind doch da nicht nur Anfangs- und Endglied gemeint, somdern auch alle dazwischen!!! Also

$\begin{eqnarray*} A_{2} = \sum\limits_{j=k_{2}}^{k_{3}-1} a_{j} = a_{k_2} + a_{k_2+1} + \ldots + a_{k_3-2} + a_{k_3-1} \end{eqnarray*}$ .

Man könnte es kurz so sagen: Die Folge $\begin{eqnarray*} (A_m) \end{eqnarray*}$ umfasst beliebig große, aber endliche Teilstücke der Originalreihe, die aneinandergereiht lückenlos die Originalreihe bilden. Mal demonstriert am Beispiel $\begin{eqnarray*} k_1=1,k_2=4,k_3=9,k_4=10,k_5=12,k_6=15 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \underbrace{a_1 + a_2 + a_3}_{=:A_1} + \underbrace{a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8}_{=:A_2} + \underbrace{a_9}_{=:A_3} + \underbrace{a_{10} + a_{11}}_{=:A_4} + \underbrace{a_{12} + a_{13} + a_{14}}_{=:A_5} + \ldots \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer Reihe

Verwandte Themen