Punkt in Polyeder

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Hedra Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt in Polyeder
Hallo zusammen,

ich versuche hier grade den Lösungsweg einer Aufgabe zu rekonstruiren von der ich sogar die Lösung selbst habe - nur leider kriege ich den Ansatz nicht hin. Eventuell hat ja hier jemand mehr Durchblick smile

Also - es geht darum zu bestimmen ob ein oder mehrere Punkte innerhalb eines Polyeders aus 4 Dreckecken liegen.

Dazu haben wir 4 Punkte (a, b, c, d) die die 4 Dreiecke

abc
abd
acd
cbd

bilden.

So folgendes hab ich vom Lösungsweg behalten:
- man bestimmt irgendwie zu jeder Begrenzungsebene den Normalenvektor, und man muss dabei achten das alle in die gleiche Richtung (nach innen) zeigen.
- mit den Normalenvektoren (glaube ich) stellt man dann vier Gleichungen auf, in welche man die zu prüfenden Punkte einsetzt. Sind alle Ergebnisse positiv liegt der Punkt innerhalb des Polyeders (weil er bei allen Ebenen auf der Seite liegt wo der Normalenvektor hinzeigt.

Mein Problem ist der Ansatz aus dem man die Gleichungen für Teil 2 bekommt. Leider finde ich zu dem Problem selbst bei Google keinerlei Hilfe oder andere Aufgaben wo man mal vergleichen könnte (evtl such ich auch nur falsch?). Ich schreib mal hier ein paar Werte aus der Aufgabe und zwei Gleichungen hin - ich bin mir sicher der Ansatz ist recht simpel, leider hakts da irgendwo bei mir :-/


Punkte des Polyeders:

a = (0, 0, 0)
b = (0, 4, 0)
c = (3, 2, 0)
d = (1, 2, 3)

Zwei der Gleichungen für die Dreiecke bzw Begrenzungsebenen:

abd:





cbd:





hier weiss ich zB auch nicht wo die 36 auf einmal her kommt .. ich erinner mich düster das irgenwie irgendwoe vorher auch noch der Punkt der nicht im Dreieck liegt eingesetzt wurde, weiss aber nicht wieso :-/

In die 2 Gleichungen die jetzt am Ende da sind, also




würde man dann mit den Anderen 2 benutzen um die zu überprüfenden Punkte einzusetzen und dann anhand des Ergebnisses abzulesen ob der Punkt innerhalb oder Ausserhalb des Polyeders liegt.

Wenn ich wüsste wieso die Ortsvektoren der Punkte hier genau so aufgestellt werden (bei abd zB (b-a) x ( d-a) bei cbd (b-c) x (d-c) ) würd ich glaub ich schon ein Stück weiterkommen .. hoffe ich (da ist noch diese 36 Augenzwinkern ) ..

Etwas komplexe Sache, von daher schon besten Dank im vorraus an jeden der sich auch nur Gedanken drüber macht Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkt in Polyeder
verwirrt verwirrt verwirrt
die 36 sind klar, das ist die ebene BCD: 6x + 9y + 4z = 36.

ohne gewähr würde ich einmal folgendes - in analogie zu R2 - vermuten:
mit den 3 l.ua. vektoren



prüfst du den punkt P folgendermaßen:


gilt
UND


dann liegt P im tetraeder.
ohne gewehr und gewähr zu so später stundeunglücklich
werner
Hedra Auf diesen Beitrag antworten »

nach langem stöbern in wikipedia und co bin ich gestern schon selber ein ganzes stück weiter gekommen.

(nicht schlagen wenn die bezeichnugen nicht ganz stimmen Augenzwinkern )

ich such mir einen punkt eines dreiecks und nehm seinen ortsvektor als "stützvektor", und die anderen beiden zum aufspannen der ebene. aus der differenz der punkte-stützvektor bilde ich dann das kreuzprodukt um den normalen vektor zu bekommen. nun kann ich das in äh koordinaten form schreiben n1x + n2y +n3z = d, und d ausrechnen durch einsetzen des stützvektors.

im beispiel hier nimmt man praktischerweise in allen dreiecken wo a vorkommt dieses als stützvektor, da es ja auf dem nullpunkt liegt = spart arbeit smile
für das letzte dreieck hab ich dann c genommen.

zum überprüfen der punkte dann einfach in die gleichung einsetzen. am ergebnis sieht man dann ob der punk in oder auf einer der seiten der ebene liegt. liegt er bei allen ebenen auf der gleichen seite so ist er im oder ausserhalb des polyeders.

geht soweit eigentlich auch gut, und ich konnte auch eine andere aufgabe dieser art lösen.

nur: es wurde darauf hingewiesen das man darauf achten sollte das alle normalenvektoren in die gleiche richtung ziegen. macht auch sinn, weil nur dann kann man sagen das wenn ein punkt eingesetzt in die 4 gleichungen das ergebnis überall zB positiv ist, er IM polyeder liegt. wenn jetzt ein normalenvektor andersrum zeigt, stimmt das ja schon nicht mehr.

nur - wie leg ich die richtung des normalenvektors fest verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die normalenvektoren über das kreuzprodukt bestimmst, ist ihre orientierung festgelegt.
vermutlich wirst du dabei einen krampf in den fingern der rechten hand kriegen Big Laugh .

da gefällt mir "meine" methode viel besser, und bedeutet auch wesentlich weniger aufwand.
und für ein polyeder - prisma, spat-, läßt man einfach bedingung 2 weg.

werner
Hedra Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist ne schöne schreiberei das kreuzprodukt smile
ich versuch halt den lösungsweg nachzuvollziehen den wir gemacht haben Augenzwinkern was du schreibst leuchtet mir aber zumindest teilweise auch ein.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hedra
ja ist ne schöne schreiberei das kreuzprodukt smile
ich versuch halt den lösungsweg nachzuvollziehen den wir gemacht haben Augenzwinkern was du schreibst leuchtet mir aber zumindest teilweise auch ein.


und mit kanonen auf tauben schießen
und welcher teil ist das verwirrt
und welcher nicht, und warum verwirrt

werner
 
 
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