Grenzwert Umkehrwert einer Folge

20.12.2012, 21:28	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Umkehrwert einer Folge Hi Ich habe die folgende Frage: Möchte man $\begin{eqnarray} lim_{n \rightarrow ...} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray}$ berechnen, kann man doch, voraussgesetzt der Grenzwert von a_n existiert, folgendes berechnen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{lim_{n \rightarrow ...}a_n} \end{eqnarray}$ . Nun zu einer konkreten Aufgabe: Man soll folgenden Limes bestimmen: $\begin{eqnarray} lim_{\phi \rightarrow 0+} \frac{sin\phi}{\phi^{2}} \end{eqnarray}$ Hier dachte ich, berechne ich einfach Folgendes: lim (1/phi)lim((sin(phi))/phi) für phi -> 0+ Da der erste Faktor gegen unendlich strebt, gibt der Grenzwert insgesamt unendlich. Darf ich dies überhaupt? Limes auseinander nehmen, darf man ja ledliglich, wenn die Reihe auch einen Grenzwert hat - gilt unendlich als Grenzwert? Nun zu der reziproken Reihe bzw. Funktion: $\begin{eqnarray} lim_{\phi \rightarrow 0} \frac{\phi^2}{1-cos\phi} \end{eqnarray}$ Dachte ich könnte man umformen zu: $\begin{eqnarray} lim_{\phi \rightarrow 0} \frac{\phi\phi}{sin\phi} \end{eqnarray}$ und das wäre dann einfach lim phi * lim phi/sin phi ... dies scheint jedoch nicht zu stimmen...könnt ihr mir helfen? Danke
20.12.2012, 22:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, "auseinanderziehen" darf man, denn dies ist ja eine Methode, welche auf den Grezwertsätzen beruht. ____________ Zum Zweiten: $\begin{eqnarray} 1 - \cos \phi \neq (!) \sin \phi \end{eqnarray}$ , das ist dort dein Fehler. Tipp zur Umformung: Steige auf den halben Winkel um: $\begin{eqnarray} 1 - \cos \varphi = 1 - \cos 2 (\frac{\varphi} 2) = 1 - ( \cos^2 .. - \sin^2 ...) = ... \end{eqnarray}$ Danach gibt's wieder einen ähnlichen Trick wie vordem (alles im halben Winkel ausdrücken). mY+
21.12.2012, 00:14	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke - aber woraus folgt die Gleichsetzung $\begin{eqnarray} cos 2(\phi/2) = cos^{2} ... - sin^{2} ... \end{eqnarray}$ ? Gruss :-)
23.12.2012, 13:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. aus $\begin{eqnarray} \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \ ... \ \text{2. Add. Theorem} \end{eqnarray}$ Wenn x auf x/2 uebergeht, wird dies zu $\begin{eqnarray} \cos x = \cos^2 \frac x 2 - \sin^2 \frac x 2 \end{eqnarray}$ mY+

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